Exam papers 2022

[Massimo Gobbino]

Please enjoy! Proposals of solutions are very welcome.

IstAM_22_CS1.pdf

Exam paper 1 (11 January 2022)

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IstAM_22_CS2.pdf

Exam paper 2 (01 February 2022)

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IstAM_22_CS3.pdf

Exam paper 3 (10 June 2022)

(132.39 KiB) Downloaded 128 times

IstAM_22_CS4.pdf

Exam paper 4 (01 July 2022)

(123.71 KiB) Downloaded 116 times

IstAM_22_CS5.pdf

Exam paper 5 (22 July 2022)

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IstAM_22_CS6.pdf

Exam paper 6 (20 September 2022)

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And here some hints for solutions (I expect more details at the exam), with a suitable delay. Please point out all mistakes!

IstAM_22_CS1_Sol.pdf

Hints -- Exam paper 1 (11 January 2022)

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IstAM_22_CS2_Sol.pdf

Hints -- Exam paper 2 (01 February 2022)

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IstAM_22_CS3_Sol.pdf

Hints -- Exam paper 3 (10 June 2022)

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IstAM_22_CS4_Sol.pdf

Hints -- Exam paper 4 (01 July 2022)

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IstAM_22_CS5_Sol.pdf

Hints -- Exam paper 5 (22 July 2022)

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IstAM_22_CS6_Sol.pdf

Hints -- Exam paper 6 (20 September 2022)

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[Giovanni Bruno]

Allego il mio tentativo di soluzione dell'esercizio 1. A "breve" (i.e se non mi inceppo ) proverò a postare gli altri

[Studente1]

Allego il mio tentativo di soluzione dell'esercizio 1. A "breve" (i.e se non mi inceppo ) proverò a postare gli altri

Per quanto riguarda la soluzione del punto b), va bene un ragionamento di questo tipo che è molto più immediato?
"Se esiste la costante $c$, allora prendiamo la funzione costante $u(x)=d$ che realizza il minimo e calcoliamo il funzionale ottenendo $\int_{0}^{1}u^{2}(x)dx = 0$, da cui segue che deve valere $u(x)=0$. $u(x)=0$ soddisfa la BC del punto a) ma abbiamo già visto nella risoluzione che l'unico punto di minimo è *inserire quello trovato al punto a)*. Assurdo"

[Giovanni Bruno]

Dovresti, per concludere, dimostrare che F(minimo trovato nel punto (a)) faccia zero. Perché se fa un numero negativo non puoi concludere

[Giovanni Bruno]

da cui segue che deve valere $u(x)=0$. $u(x)=0$ soddisfa la BC del punto a) ma abbiamo già visto nella risoluzione che l'unico punto di minimo è *inserire quello trovato al punto a)*. Assurdo"

Ad esempio credo che nel punto (a) se metti un qualcosa tipo $-\frac{1}{m}x^n$ scegliendo bene m ed n esce un numero negativo.

(qualcuno mi corregga se sbaglio, sto commettendo il peccato di parlare senza fare direttamente i calcoli)

[Studente1]

da cui segue che deve valere $u(x)=0$. $u(x)=0$ soddisfa la BC del punto a) ma abbiamo già visto nella risoluzione che l'unico punto di minimo è *inserire quello trovato al punto a)*. Assurdo"

Ad esempio credo che nel punto (a) se metti un qualcosa tipo $-\frac{1}{m}x^n$ scegliendo bene m ed n esce un numero negativo.

(qualcuno mi corregga se sbaglio, sto commettendo il peccato di parlare senza fare direttamente i calcoli)

Basandomi sulla soluzione scritta da te nel punto a), viene fuori che l'integranda è positiva nell'intervallo (0,1) e dunque l'integrale è maggiore uguale di zero (ovviamente se non ho sbagliato 1) a leggere la tua soluzione del punto a 2) a controllare senza rifare i conti la funzione all'interno dell'integrale). A questo punto possiamo concludere.

In realtà a voler essere precisi, alla luce di queste osservazioni il punto b è vero con u identicamente nulla e c=0. E anche nel punto a) bisognerebbe far notare che 0 è un minimo (e dunque ce ne sono due)

[Giovanni Bruno]

Basandomi sulla soluzione scritta da te nel punto a), viene fuori che l'integranda è positiva nell'intervallo (0,1) e dunque l'integrale è maggiore uguale di zero (ovviamente se non ho sbagliato 1) a leggere la tua soluzione del punto a 2) a controllare senza rifare i conti la funzione all'interno dell'integrale). A questo punto possiamo concludere.

La soluzione che ho trovato io è $-\frac{3e}{2(e^2+1)}e^x+\frac{3e}{2(e^2+1)}e^{-x}+x$. A questo punto l'integranda esce qualcosa di abbastanza bruttino da scrivere ma il mio telefono dice che l'integranda in 1/2 fa qualcosa di negativo (proof by smartphone ), in ogni caso le funzioni che ho citato prima (quelle potenze di x) con la scelta giusta di m ed n fanno si che il funzionale assuma un valore negativo , va da sé che il minimo quindi è sicuramente un valore negativo al di là di eventuali miei errori di calcolo fatti nel calcolo del minimo. In particolare 0 per quanto possa stare nella classe non minimizza il funzionale.

[Studente1]

Basandomi sulla soluzione scritta da te nel punto a), viene fuori che l'integranda è positiva nell'intervallo (0,1) e dunque l'integrale è maggiore uguale di zero (ovviamente se non ho sbagliato 1) a leggere la tua soluzione del punto a 2) a controllare senza rifare i conti la funzione all'interno dell'integrale). A questo punto possiamo concludere.

La soluzione che ho trovato io è $-\frac{3e}{2(e^2+1)}e^x+\frac{3e}{2(e^2+1)}e^{-x}+x$. A questo punto l'integranda esce qualcosa di abbastanza bruttino da scrivere ma il mio telefono dice che l'integranda in 1/2 fa qualcosa di negativo (proof by smartphone ), in ogni caso le funzioni che ho citato prima (quelle potenze di x) con la scelta giusta di m ed n fanno si che il funzionale assuma un valore negativo , va da sé che il minimo quindi è sicuramente un valore negativo al di là di eventuali miei errori di calcolo fatti nel calcolo del minimo. In particolare 0 per quanto possa stare nella classe non minimizza il funzionale.

Nella pdf da te postato hai invertito i due lambda ecco spiegato perchè veniva positivo.
Perfetto, allora la dimostrazione "facile" non va bene.

[Giovanni Bruno]

Nella pdf da te postato hai invertito i due lambda ecco spiegato perchè veniva positivo.

Caspiterina è vero , correggo il file; grazie mille.

[Massimo Gobbino]

Sono felicissimo di vedere che finalmente c'è qualcuno che discute degli esercizi. Intervengo brevemente io per fare un paio di osservazioni.

La prima è che il minimo (valore) al punto (a) è sicuramente negativo. Questo si vede senza quasi nessun calcolo. Infatti la funzione identicamente nulla è un competitore e rende nullo il funzionale, quindi il minimo (posto che esista) è 0 oppure negativo. Se fosse 0, allora la funzione identicamente nulla sarebbe un punto di minimo, ma per banale sostituzione si vede che non risolve ELE. Dunque il minimo, se esiste, è per forza negativo.

La seconda osservazione è che il punto (a) ed il punto (b) non hanno nulla a che vedere, perché nel punto (a) c'è una DBC, mentre nel punto (b) c'è solo un vincolo integrale. Il valore minimo al punto (b) sarà ragionevolmente negativo per valori c vicini a 0, e positivo per valori di c più lontani, ma non mi pare che queste informazioni aiutino in alcun modo nella risoluzione del punto (b).

[david.sampieri]

IstAM David Sampieri (Prima parte).pdf

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Qui ci sono i miei primi due esercizi.

[Studente1]

IstAM David Sampieri (Prima parte).pdf
Qui ci sono i miei primi due esercizi.

Non bisogna accettare anche il valore +inf nella formulazione debole?
Inoltre ambientando in $H^1$e non in $H^{1,4}$ non bisogna dire qualcosa sulla buona definizione dell’integrale di quel $s^4$ che appare nel funzionale?

[Giovanni Bruno]

Ho un sacco di dubbi per quanto riguarda l'esercizio 3: Il punto (a) mi sembra abbastanza liscio, troviamo che per $p<2$ l'insieme non è limitato in $L^1(B)$ quindi figuriamoci negli altri. Per quanto riguarda il punto (b) l'idea è usare ovviamente i teoremi di immersione compatta; il p che ha $p^*=7$ è 21/10. In particolare, per p maggiore stretto di questo valore l'insieme è limitato in $W^{1,p}$ quindi relativamente compatto per tutti quanti fino a $p^*$. Ora resta il caso $2\leq p\leq 21/10$. Voglio dire sappiamo che l'immersione per $p=p^*$ non è mai compatta, mi basta questo per concludere che l'insieme non è relativamente compatto? Come potrei costruire una successione controesempio?
Per ora non ne ho idea ma forse non ci ho provato abbastanza .
Per quanto riguarda il punto (c) l'idea è fondamentalmente la stessa, fissato q trovo i p che hanno $p^*>q$, ovviamente controllando che questi p siano maggiori di 2 (se così non fosse mi andrebbero bene tutti i p>2). Di nuovo poi c'è il problema dei casi limite e dei controesempi.

Inoltre ho una domanda (maddai, un'altra? ): per capire se $S(B,2)$ sia limitato mi servirebbe sapere come si comporta la costante di Poincaré ottimale per p uguale a 2, ma a quel punto il risultato dipenderebbe dalla palla B, giusto? palle sufficientemente grandi mi danno una costante abbastanza grande quindi poi perdo la limitatezza, sbaglio?

[david.sampieri]

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Qui ci sono i miei primi due esercizi.

Non bisogna accettare anche il valore +inf nella formulazione debole?
Inoltre ambientando in $H^1$e non in $H^{1,4}$ non bisogna dire qualcosa sulla buona definizione dell’integrale di quel $s^4$ che appare nel funzionale?

Mi pare che ci sia. Credo che anche in $H^{1,4}$ serva aggiungere $+\infty$ poiché l'esponenziale elevato alla derivata non è detto che sia integrabile.

[Studente1]

IstAM David Sampieri (Prima parte).pdf
Qui ci sono i miei primi due esercizi.

Non bisogna accettare anche il valore +inf nella formulazione debole?
Inoltre ambientando in $H^1$e non in $H^{1,4}$ non bisogna dire qualcosa sulla buona definizione dell’integrale di quel $s^4$ che appare nel funzionale?

Mi pare che ci sia. Credo che anche in $H^{1,4}$ serva aggiungere $+\infty$ poiché l'esponenziale elevato alla derivata non è detto che sia integrabile.

Si c’è, me l’ero perso. Si, anche in H1,4 bisogna aggiungere l’infinito. Mi resta il dubbio se vada fatta o meno qualche precisazione, ambientando soltanto in H1, sulla buona definizione dell’integrale (non penso basti dire che il funzionale può valsre più infinito)