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Exam papers 2022
Posted: Wednesday 12 January 2022, 17:59
by Massimo Gobbino
Please enjoy! Proposals of solutions are very welcome.
- IstAM_22_CS1.pdf
- Exam paper 1 (11 January 2022)
- (123.71 KiB) Downloaded 216 times
- IstAM_22_CS2.pdf
- Exam paper 2 (01 February 2022)
- (114.68 KiB) Downloaded 216 times
- IstAM_22_CS6.pdf
- Exam paper 6 (20 September 2022)
- (117.72 KiB) Downloaded 131 times
And here some hints for solutions (I expect more details at the exam), with a suitable delay. Please point out all mistakes!
Re: Exam papers 2022
Posted: Thursday 13 January 2022, 14:05
by Giovanni Bruno
Allego il mio tentativo di soluzione dell'esercizio 1. A "breve" (i.e se non mi inceppo

) proverò a postare gli altri
Re: Exam papers 2022
Posted: Thursday 13 January 2022, 17:29
by Studente1
Giovanni Bruno wrote: ↑Thursday 13 January 2022, 14:05
Allego il mio tentativo di soluzione dell'esercizio 1. A "breve" (i.e se non mi inceppo

) proverò a postare gli altri
Per quanto riguarda la soluzione del punto b), va bene un ragionamento di questo tipo che è molto più immediato?
"Se esiste la costante
\(c\), allora prendiamo la funzione costante
\(u(x)=d\) che realizza il minimo e calcoliamo il funzionale ottenendo
\(\int_{0}^{1}u^{2}(x)dx = 0\), da cui segue che deve valere
\(u(x)=0\).
\(u(x)=0\) soddisfa la BC del punto a) ma abbiamo già visto nella risoluzione che l'unico punto di minimo è *inserire quello trovato al punto a)*. Assurdo"
Re: Exam papers 2022
Posted: Thursday 13 January 2022, 17:58
by Giovanni Bruno
Dovresti, per concludere, dimostrare che F(minimo trovato nel punto (a)) faccia zero. Perché se fa un numero negativo non puoi concludere
Re: Exam papers 2022
Posted: Thursday 13 January 2022, 18:57
by Giovanni Bruno
Studente1 wrote: ↑Thursday 13 January 2022, 17:29
da cui segue che deve valere
\(u(x)=0\).
\(u(x)=0\) soddisfa la BC del punto a) ma abbiamo già visto nella risoluzione che l'unico punto di minimo è *inserire quello trovato al punto a)*. Assurdo"
Ad esempio credo che nel punto (a) se metti un qualcosa tipo
\(-\frac{1}{m}x^n\) scegliendo bene m ed n esce un numero negativo.
(qualcuno mi corregga se sbaglio, sto commettendo il peccato di parlare senza fare direttamente i calcoli)
Re: Exam papers 2022
Posted: Thursday 13 January 2022, 19:44
by Studente1
Giovanni Bruno wrote: ↑Thursday 13 January 2022, 18:57
Studente1 wrote: ↑Thursday 13 January 2022, 17:29
da cui segue che deve valere
\(u(x)=0\).
\(u(x)=0\) soddisfa la BC del punto a) ma abbiamo già visto nella risoluzione che l'unico punto di minimo è *inserire quello trovato al punto a)*. Assurdo"
Ad esempio credo che nel punto (a) se metti un qualcosa tipo
\(-\frac{1}{m}x^n\) scegliendo bene m ed n esce un numero negativo.
(qualcuno mi corregga se sbaglio, sto commettendo il peccato di parlare senza fare direttamente i calcoli)
Basandomi sulla soluzione scritta da te nel punto a), viene fuori che l'integranda è positiva nell'intervallo (0,1) e dunque l'integrale è maggiore uguale di zero (ovviamente se non ho sbagliato 1) a leggere la tua soluzione del punto a 2) a controllare senza rifare i conti la funzione all'interno dell'integrale). A questo punto possiamo concludere.
In realtà a voler essere precisi, alla luce di queste osservazioni il punto b è vero con u identicamente nulla e c=0. E anche nel punto a) bisognerebbe far notare che 0 è un minimo (e dunque ce ne sono due)
Re: Exam papers 2022
Posted: Thursday 13 January 2022, 20:26
by Giovanni Bruno
Studente1 wrote: ↑Thursday 13 January 2022, 19:44
Basandomi sulla soluzione scritta da te nel punto a), viene fuori che l'integranda è positiva nell'intervallo (0,1) e dunque l'integrale è maggiore uguale di zero (ovviamente se non ho sbagliato 1) a leggere la tua soluzione del punto a 2) a controllare senza rifare i conti la funzione all'interno dell'integrale). A questo punto possiamo concludere.
La soluzione che ho trovato io è
\(-\frac{3e}{2(e^2+1)}e^x+\frac{3e}{2(e^2+1)}e^{-x}+x\). A questo punto l'integranda esce qualcosa di abbastanza bruttino da scrivere ma il mio telefono dice che l'integranda in 1/2 fa qualcosa di negativo (proof by smartphone

), in ogni caso le funzioni che ho citato prima (quelle potenze di x) con la scelta giusta di m ed n fanno si che il funzionale assuma un valore negativo , va da sé che il minimo quindi è sicuramente un valore negativo al di là di eventuali miei errori di calcolo fatti nel calcolo del minimo. In particolare 0 per quanto possa stare nella classe non minimizza il funzionale.
Re: Exam papers 2022
Posted: Thursday 13 January 2022, 21:17
by Studente1
Giovanni Bruno wrote: ↑Thursday 13 January 2022, 20:26
Studente1 wrote: ↑Thursday 13 January 2022, 19:44
Basandomi sulla soluzione scritta da te nel punto a), viene fuori che l'integranda è positiva nell'intervallo (0,1) e dunque l'integrale è maggiore uguale di zero (ovviamente se non ho sbagliato 1) a leggere la tua soluzione del punto a 2) a controllare senza rifare i conti la funzione all'interno dell'integrale). A questo punto possiamo concludere.
La soluzione che ho trovato io è
\(-\frac{3e}{2(e^2+1)}e^x+\frac{3e}{2(e^2+1)}e^{-x}+x\). A questo punto l'integranda esce qualcosa di abbastanza bruttino da scrivere ma il mio telefono dice che l'integranda in 1/2 fa qualcosa di negativo (proof by smartphone

), in ogni caso le funzioni che ho citato prima (quelle potenze di x) con la scelta giusta di m ed n fanno si che il funzionale assuma un valore negativo , va da sé che il minimo quindi è sicuramente un valore negativo al di là di eventuali miei errori di calcolo fatti nel calcolo del minimo. In particolare 0 per quanto possa stare nella classe non minimizza il funzionale.
Nella pdf da te postato hai invertito i due lambda

ecco spiegato perchè veniva positivo.
Perfetto, allora la dimostrazione "facile" non va bene.
Re: Exam papers 2022
Posted: Thursday 13 January 2022, 21:48
by Giovanni Bruno
Studente1 wrote: ↑Thursday 13 January 2022, 21:17
Nella pdf da te postato hai invertito i due lambda

ecco spiegato perchè veniva positivo.
Caspiterina è vero

, correggo il file; grazie mille.
Re: Exam papers 2022
Posted: Friday 14 January 2022, 8:48
by Massimo Gobbino
Sono felicissimo di vedere che finalmente c'è qualcuno che discute degli esercizi. Intervengo brevemente io per fare un paio di osservazioni.
La prima è che il minimo (valore) al punto (a) è sicuramente negativo. Questo si vede senza quasi nessun calcolo. Infatti la funzione identicamente nulla è un competitore e rende nullo il funzionale, quindi il minimo (posto che esista) è 0 oppure negativo. Se fosse 0, allora la funzione identicamente nulla sarebbe un punto di minimo, ma per banale sostituzione si vede che non risolve ELE. Dunque il minimo, se esiste, è per forza negativo.
La seconda osservazione è che il punto (a) ed il punto (b) non hanno nulla a che vedere, perché nel punto (a) c'è una DBC, mentre nel punto (b) c'è solo un vincolo integrale. Il valore minimo al punto (b) sarà ragionevolmente negativo per valori c vicini a 0, e positivo per valori di c più lontani, ma non mi pare che queste informazioni aiutino in alcun modo nella risoluzione del punto (b).
Re: Exam papers 2022
Posted: Friday 14 January 2022, 11:32
by david.sampieri
Qui ci sono i miei primi due esercizi.
Re: Exam papers 2022
Posted: Friday 14 January 2022, 18:00
by Studente1
david.sampieri wrote: ↑Friday 14 January 2022, 11:32
IstAM David Sampieri (Prima parte).pdf
Qui ci sono i miei primi due esercizi.
Non bisogna accettare anche il valore +inf nella formulazione debole?
Inoltre ambientando in
\(H^1\)e non in
\(H^{1,4}\) non bisogna dire qualcosa sulla buona definizione dell’integrale di quel
\(s^4\) che appare nel funzionale?
Re: Exam papers 2022
Posted: Saturday 15 January 2022, 0:06
by Giovanni Bruno
Ho un sacco di dubbi per quanto riguarda l'esercizio 3: Il punto (a) mi sembra abbastanza liscio, troviamo che per
\(p<2\) l'insieme non è limitato in
\(L^1(B)\) quindi figuriamoci negli altri. Per quanto riguarda il punto (b) l'idea è usare ovviamente i teoremi di immersione compatta; il p che ha
\(p^*=7\) è 21/10. In particolare, per p maggiore stretto di questo valore l'insieme è limitato in
\(W^{1,p}\) quindi relativamente compatto per tutti quanti fino a
\(p^*\). Ora resta il caso
\(2\leq p\leq 21/10\). Voglio dire sappiamo che l'immersione per
\(p=p^*\) non è mai compatta, mi basta questo per concludere che l'insieme non è relativamente compatto? Come potrei costruire una successione controesempio?
Per ora non ne ho idea ma forse non ci ho provato abbastanza

.
Per quanto riguarda il punto (c) l'idea è fondamentalmente la stessa, fissato q trovo i p che hanno
\(p^*>q\), ovviamente controllando che questi p siano maggiori di 2 (se così non fosse mi andrebbero bene tutti i p>2). Di nuovo poi c'è il problema dei casi limite e dei controesempi.
Inoltre ho una domanda (maddai, un'altra?

): per capire se
\(S(B,2)\) sia limitato mi servirebbe sapere come si comporta la costante di Poincaré ottimale per p uguale a 2, ma a quel punto il risultato dipenderebbe dalla palla B, giusto? palle sufficientemente grandi mi danno una costante abbastanza grande quindi poi perdo la limitatezza, sbaglio?
Re: Exam papers 2022
Posted: Saturday 15 January 2022, 11:01
by david.sampieri
Studente1 wrote: ↑Friday 14 January 2022, 18:00
david.sampieri wrote: ↑Friday 14 January 2022, 11:32
IstAM David Sampieri (Prima parte).pdf
Qui ci sono i miei primi due esercizi.
Non bisogna accettare anche il valore +inf nella formulazione debole?
Inoltre ambientando in
\(H^1\)e non in
\(H^{1,4}\) non bisogna dire qualcosa sulla buona definizione dell’integrale di quel
\(s^4\) che appare nel funzionale?
Mi pare che ci sia. Credo che anche in
\(H^{1,4}\) serva aggiungere
\(+\infty\) poiché l'esponenziale elevato alla derivata non è detto che sia integrabile.
Re: Exam papers 2022
Posted: Saturday 15 January 2022, 14:18
by Studente1
david.sampieri wrote: ↑Saturday 15 January 2022, 11:01
Studente1 wrote: ↑Friday 14 January 2022, 18:00
david.sampieri wrote: ↑Friday 14 January 2022, 11:32
IstAM David Sampieri (Prima parte).pdf
Qui ci sono i miei primi due esercizi.
Non bisogna accettare anche il valore +inf nella formulazione debole?
Inoltre ambientando in
\(H^1\)e non in
\(H^{1,4}\) non bisogna dire qualcosa sulla buona definizione dell’integrale di quel
\(s^4\) che appare nel funzionale?
Mi pare che ci sia. Credo che anche in
\(H^{1,4}\) serva aggiungere
\(+\infty\) poiché l'esponenziale elevato alla derivata non è detto che sia integrabile.
Si c’è, me l’ero perso. Si, anche in H1,4 bisogna aggiungere l’infinito. Mi resta il dubbio se vada fatta o meno qualche precisazione, ambientando soltanto in H1, sulla buona definizione dell’integrale (non penso basti dire che il funzionale può valsre più infinito)