Simulazione scritto d'esame

[Massimo Gobbino]

Ecco una simulazione di scritto in Christmas Edition, che potrebbe risentire di un pranzo un po' pesante .

[EDIT] Ho aggiunto anche una New Year edition.

[T.Sc]

Salve, ho provato a fare il primo esercizio ed in particolar modo ad applicare il metodo diretto ma non riesco a concludere:il problema l'ho riformulato come \(\min F(u) \ \ \{u \in H^1(\Omega) \ | \ tr(u)=1 \}\) (eventualmente ammettendo che $F$ assuma il valore \(+ \infty\)).

In primo luogo, ELE dovrebbe essere

\(div(A(x)\nabla(u))=u^{8101}8102\)

dove \(A(x)\) e' la matrice diagonale con elementi non nulli rispettivamente \(x^{25},y^{12},z^{2018}\)(mi scuso per la notazione terrificante ma ho un po' di problemi con il Tex).

Ora, il problema e' che io metterei come nozione di convergenza la convergenza forte in \(L^2\) delle funzioni e debole delle derivate,per poter utilizzare la compattezza della relativa immersione di Sobolev, ma questo non mi sembra dare ne' compattezza dei sottolivelli ne' SCI: in particolare, non riesco a controllare il termine

\(\displaystyle \int_{\Omega}u^{8102}\)

in modo tale da applicare quanto visto a lezione.

[tommy1996q]

Allora, personalmente per evitare problemi del tuo tipo ho provato a mettermi in \(W^{1,8102}(\Omega)\) e a considerare come nozione di convergenza quella uniforme per la parte di funzione (tanto per immersione ho funzioni holderiane) e quella debole \(L^{8102}\) per la parte di derivata. Domani provo a scrivere tutto per bene e a postarlo. Magari ci saranno errori stupidi, ma meglio scriverli qui che all'esame.

Colgo l'occasione per fare qualche domanda anche io: in problemi del genere, qual è l'ambientazione giusta? Una volta, se non mi sbaglio, disse che l'ambientazione è decisa dall'esponente su \(|\nabla u|\), e che se ci mettessimo in un ambiente diverso, allora la soluzione potrebbe essere "rilassata". Cosa significa che la soluzione si rilassa nello spazio giusto? Inoltre, nel caso in cui siano presenti molti esponenti diversi, è una buona strategia mettersi in \(W^{1,p}\), con \(p\) l'esponente maggiore?

EDIT: mi è stato fatto notare che ambientandosi nello spazio che ho detto sopra le cose non funzionano. Il motivo è che ho usato la disuguaglianza di Poincaré al contrario . Credo che allora lo spazio giusto sia effettivamente \(H^{1}_0\)

[Massimo Gobbino]

meglio scriverli qui che all'esame.

Sante parole ... invito tutti a collaborare a questa discussione, rispondendo alle domande proposte!

Nel frattempo ho corretto un errore nella New Year Edition che, come sicuramente avevate già realizzato , rendeva sostanzialmente banale un esercizio.

[Massimo Gobbino]

Ho cambiato anche il numero 1 della NYE per renderlo più interessante e istruttivo.

[tommy1996q]

Ok, provo a dare la soluzione del primo esercizio del compito di Natale. Se nel frattempo qualcuno mi può spiegare come mettere tutto come spoiler gliene sarei grato. Ci ho provato ma per qualche motivo non funziona.

[+] CE_Esercizio_1

ELE

La lagrangiana è data da \(L(x,s,p)= x^{25} p_{1}^2 + y^{12 } p_{2}^2 + z^{2018} p_{3}^2 + s^{8102}\), e la ELE in forma differenziale è data da \(div(\nabla_{p} L)= L_s\),cioè \(50 x^{24} u_x + 2x^{25} u_{xx} + 24y^{11}u_y + 2 y^{12}u_{yy} + 4036 z^{2017} u_z + 2 z^{2018}u_{zz}=8102u^{8101}\)

ESISTENZA, UNICITA' E REGOLARITA' DEL MINIMO

Si procede con il metodo diretto.

1)Formulazione debole

Considero la funzione \(u_0 =1\) e cerco \(u \in H^{1}_0 (\Omega)\) che risolva lo stesso problema, dove tuttavia adesso le condizioni di Dirichlet al bordo sono nulle e la lagrangiana è data da \(L(x,s,p)= x^{25 }p_{1}^2 + y^{12 } p_{2}^2 + z^{2018} p_{3}^2 + (s+1)^{8102}\).

2)Compattezza
Scegliamo come nozione di compattezza la convergenza forte \(L^2\) per la parte di funzone e quella debole (sempre \(L^2\)) per la parte di derivata.
Ponendo \(F(u)= \int_{\Omega} L(x,u, \nabla u) \leq M\), otteniamo facilmente \(||\nabla u||_{L^2} \leq M'\), da cui per compattezza debole delle palle in \(L^2\) posso estrarre una sottosuccessione convergente debolmente. A questo punto noto che (grazie alla positività della parte di derivata della lagrangiana) posso stimare anche la norma 8102 di \(u\) uniformemente. Quindi posso stimare anche (per la limitatezza di \(m(\Omega)\) anche la norma \(L^2\) di \(u\), e per il teorema di immersione compatta ottengo una sottosuccessione che converge fortemente in \(L^2\).

3)Semicontinuità

Supponiamo di avere una successione \(\{u_n\}\) che converga secondo la nozione di converrgenza data sopra. Vediamo anzitutto la semicontinuità per la parte di funzione. Dato che \(u_n \to u_\infty\) forte in \(L^2\), avremo che esiste una sottosuccessione che converge quasi ovunque. Essendo poi che \((u_n +1)^8102) \geq 0\) posso usare Fatou. Detta quindi \(u_{n_j}\) una sottosuccessione infizzante e detta \(u_{n_{j_k}}\) un'ulteriore sottosuccessione che converge puntualmente a \(u_ \infty\), si ottiene che:
\(\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \int_{\Omega} (u_n+1)^{8102}= \lim{j \to \infty} \int_{\Omega} (u_{n_j}+1)^{8102}=\liminf{k \to \infty} \int_{\Omega} (u_{n_{j_k}}+1)^{8102} \geq \int_{\Omega} (u_{\infty}+1)^{8102}\)

Per la parte di derivata si usa o un teorema visto a lezione per cui convessità della lagrangiana più convergenza debole \(L^1\) mi dà sci, oppure uso convessità forte + sci forte (ottenuta come sopra)= sci debole

4)Unicità

Per quanto riguarda l'unicità, segue da un argomento di convessità e dalle condizioni di Dirichlet omogenee. Infatti la lagrangiana è convessa nelle variabili \((s,p_1,p_2,p_3)\), e anzi strettamente convessa nelle ultime 3 variabili. Scegliendo un altro competitore come minimo e scrivendolo come \(w=u + v\), dove \(u\) è il minimo trovato col metodo diretto e \(v \in H^{1}_0 (\Omega)\), otteniamo che \(F(u+v)>F(u)\) non appena \(\nabla v \neq 0\). Questo significa che \(v\) è costante, e che quindi deve essere 0 per via delle condizioni al bordo.

5)Regolarità
Possiamo scrivere la lagraniana come \(\langle A(x) Du(x),Du(x) \rangle + u^{8102}\), dove \(A(x)= diag(x^{25},y^{12},z^{2018})\). Per come è fatto il dominio, la matrice è uniformemente ellittica. Da un argomento di troncamento, poi, si vede che la \(u\) deve essere limitata, quindi \(u^{8102} \in L^2\) e per il teorema di regolarità fino al bordo si ha \(u \in H^{2}_0\). Derivando due volte la \(u^{8102}\) ottengo come unico problema un termine \((Du)^2\). Ma \(u \in H^2 \implies Du \in H^1 \implies Du \in L^{6}\) per immersione, perciò \(u^{8102} \in H^2\) e \(u \in H^4\). Adesso, derivando 3 volte la \(u^{8102}\), dovrei avere come unico problema i termini \((D^2 u)Du\) e \((Du)^3\). L'ultimo sta in \(L^6\) per quanto osservato prima, mentre il primo sta in \(L^2\) sfruttando le immersioni e holder. Quindi \(u \in H^5 \implies Du \in H^4 \implies Du \in C^0 \implies u \in C^1\).

[Massimo Gobbino]

Se nel frattempo qualcuno mi può spiegare come mettere tutto come spoiler gliene sarei grato.

Devi aprire e chiudere il tag con il pulsantino e poi, nelle virgolette del tag di apertura, scrivere un titolo per lo spoiler. La parte tricky è che per qualche ragione il titolo non ammette spazi.

Nel frattempo grazie per aver avviato la discussione. Spero che anche altri seguano il buon esempio.

[tommy1996q]

Per quanto riguarda la regolarità, mi trovo in difficoltà. Mentre negli esempi visti con \(\Delta u=f\) consideravamo sempre \(f \in L^2\), qui ho \(f(x,u)= 8102u^{8101}\) che, a priori, non appartiene a \(L^2\). Aveva accennato a una situazione del genere alla fine della lezione del 19/11, dicendo che si poteva dire che \(u\) era limitata grazie a un argomento di troncamento. Potrebbe spiegare come procedere in questo caso? Perché non mi è del tutto chiaro cosa intende. Un'idea potrebbe essere che nel caso in cui \(|u|>2\) (sto considerando la lagrangiana traslata, dove compare \((s+1)^2\)) troncando la funzione miglioro la stima, assurdo dato che per ipotesi avevo il minimo. L'unica cosa che non mi torna è come giustificare questo troncamento. Cioè, chi mi dice che questa funzione troncata che costruisco è ancora una Sobolev? Devo costruire esplicitamente degli approssimanti \(C^{\infty}\) ?

Una volta fatto questo troncamento poi la strada (dovrebbe) essere in discesa, ricopiando la dimostrazione della regolarità \(L^2\) dove al posto del laplaciano ho una matrice ellittica.

[Massimo Gobbino]

Esatto, tutto sta ad ottenere \(L^\infty\), poi è discesa tranquilla. Per far questo, basta dimostrare che la soluzione del problema originario è compresa tra 0 e 1, il che si fa con il solito argomento di troncamento. L'argomento è standard, in quanto basta mostrare che la troncata di una Sobolev tra 2 valori è ancora una Sobolev (e in questo caso migliora il funzionale). Questo a sua volta segue al solito modo (come?) dal fatto che se u è Sobolev, allora |u| è Sobolev, il che è dimostrato in qualche lezione (questo è il motivo per cui è importante fare i valori assoluti).

Qualche commento sulla parte di semi-continuità. Per la parte di derivata (derivate parziali in questo caso), si usa la SCI debole di funzionali del tipo

\(\displaystyle v\to\int_X a(x)v(x)^2\,dx\)

Questo vale in generale in spazi di misura purché \(a(x)\geq 0\) (e magari pure limitata e misurabile). A fine corso abbiamo a disposizione tutte le dimostrazioni che vogliamo:

• elementare aggiungendo e togliendo \(v_\infty\) dentro il quadrato,
• astratta usando che quel funzionale è convesso e SCI forte (perché?),
• astratta osservando che quella roba, se a(x) è compreso tra due costanti positive, è una norma equivalente.

Per la parte di funzione la cosa è più semplice. Infatti lì non occorre invocare la convessità (che è un lusso che non ci si può permettere in generale), ma basta usare Fatou.

Il discorso dei teoremi di estensione/compattezza per la parte di regolarità non l'ho capito.

Quanto alla formulazione in ambienti strani, è chiaro che \(W^{1,8102}\) non può andare bene (perché?) e in questo senso "lo spazio lo decide il problema, noi non possiamo farci nulla". Andrebbe bene \(W^{1,3/2}\) ?

Infine, è buona norma esplicitare le ELE con tutte le derivate, per toccare con mano, non lasciando indicate le divergenze.

[tommy1996q]

Allora, cerco di commentare punto per punto alcune cose che non mi sono chiare.

Abbiamo dimostrato che il valore assoluto di una Sobolev è ancora una Sobolev. Il problema è che non sono sicuro di come questo aiuti nel momento in cui tronco. Per troncare intendo che pongo uguale a \(M\) la \(u\) nei punti dove \(u(x)>M\). Non mi è chiaro come usare il valore assoluto della funzione mi aiuti nel momento in cui devo troncare. Una possibilità che mi è venuta in mente adesso è considerare la funzione composta \(g(u(x))\) dove \(g= \begin{cases} x \mbox{ se } |x|<M \\ M \mbox { se } |x| \geq M \end{cases}\). Certo, la funzione \(g\) non è \(C^1\) come richiederebbe il teorema visto, ma con un raccordino dovrebbe funzionare tutto ugualmente. In questo modo non si può ugualmente concludere?

Per quanto riguarda la semicontinuità, con Fatou non mi è chiaro come poter dire che \(\int_{\Omega} \liminf_{n \to \infty} u_n ^{8102} \geq \int_{\Omega} u_\infty ^{8102}\) nel caso di sola convergenza \(L^2\). Per la parte di derivata non mi sono chiare le ultime due strategie suggerite. Se ho ben capito, l'ultima punterebbe a vedere il tutto come norma in quanto le norme sono SCI deboli, mentre la seconda userebbe un teorema visto che permetterebbe di concludere. Quello che non mi è molto chiaro è come vedere la SCI forte in questo caso. Inoltre il ragionamento per convessità che avevo fatto in questo caso funziona? O, per lo meno, ha senso?

Il discorso sull'estensione l'ho fatto perché (a meno che non mi sia perso qualcosa) il teorema di immersione compatta lo abbiamo visto solo per spazi \(W^{1,p}_0\) e immergevamo nelle funzioni continue quando \(p>d\). Invece il teorema di immersione (quindi con \(\Omega = \mathbb{R}^d\)) lo abbiamo visto più in generale, e in particolare abbiamo visto che per \(mp\) abbastanza grande, le funzioni \(W^{m,p}(\mathbb{R}^d)\) si immergono in \(C^k\). Per questo dicevo che, se voglio la C infinità della funzione, devo guadagnare un \(m\) grande per cui \(u \in W^{m,2}_0 (\Omega)\), ma per concludere mi serve estendere a tutto lo spazio per poter usare il teorema di immersione (non compatta).

Infine, mi verrebbe da dire che lo spazio \(W^{1,3/2}\) non andrebbe bene semplicemente perché per far partire la macchina del metodo diretto mi serve una limitazione sulle derivate, il cui esponente è in questo caso \(2\). Come idea generale, nel caso in cui gli esponenti sulle derivate parziali fossero diversi, direi che bisogna mettersi in \(W^{1,p}\) dove \(p\) è l'esponente maggiore.

[C_Paradise]

Per quanto riguarda il troncamento supponiamo che lo vogliamo fare solo dall'alto allora la funzione troncata ad altezza M sarà il minimo puntuale tra la funzione e M.
Ma ora \(2\min\{u(x), M\}=u(x)+M - |u(x) - M|\) quindi sfruttando il fatto che il modulo di Sobolev è Sobolev otteniamo che la troncata dall'alto lo è, allo stesso modo per la troncata dal basso con il max al posto del min.

[Massimo Gobbino]

Esatto. Si tratta di utilizzare la formula precorsistica

\(\max\{a,b\}=\dfrac{a+b+|a-b|}{2}\)

Da questa, ad analisi 1 e 2 si deduce che il max di funzioni continue/integrabili è a sua volta una funzione continua/integrabile.

Allo stesso modo ora si può dedurre che il max di Sobolev è Sobolev, passando per il solo valore assoluto. Poi è chiaro che uno può lavorare direttamente con le approssimazioni, ma così in fondo sta ripetendo la dimostrazione che funziona per il valore assoluto, quindi tanto vale usare direttamente la conseguenza!

Già che ci siamo, tanto vale citare che con le approssimazioni si dimostra pure che Lipschitz(Sobolev) = Sobolev, il che generalizza un pochino la composizione esterna vista nel caso smooth.

[C_Paradise]

Provo a rispondere a un altro paio di punti. Per la semicontinuità della parte di funzione possiamo usare Fatou perché se \(u_n \to u_{\infty}\) in \(L^2\) abbiamo una sottosuccessione \(u_{n_k}\) che converge quasi ovunque. Di conseguenza anche \(u_{n_k}^{8102} \to u_{\infty}^{8102}\) quasi ovunque e ora possiamo usare Fatou per concludere (basta partire dalla sottosuccessione che realizza il liminf).

Per quanto riguarda la parte di derivata abbiamo:

\(\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \int x^{25} (u_n)_x^2 + y^{12} (u_n)_y^2 + z^{2018} (u_n)_z^2 \ge \liminf_{n \to \infty} \int x^{25} (u_n)_x^2 + \liminf_{n \to \infty} \int y^{12} (u_n)_y^2 + \liminf_{n \to \infty} \int z^{2018} (u_n)_z^2\).

Adesso ognuno dei tre liminf a destra è del tipo che ha scritto il professore nel suo ultimo post. Perché sono semicontinui forte? Ad esempio perché sono continui forte in \(L^2\).
Chiamiamo \(\displaystyle L(v) = \int_{X} a(x)v(x)^2 dx\) abbiamo che

\(\displaystyle |L(v+h)-L(v)| = \left|\int_{X} 2a(x)v(x)h(x)dx + \int_{X} a(x)h(x)^2dx\right| \le 2\|a\|_{\infty}\cdot\|v\|_{2}\cdot\|h\|_2 + \|a\|_{\infty}\cdot\|h\|_2^2\).

Quindi se \(a(x)\) è limitata siamo contenti

[tommy1996q]

Accidenti, non avevo proprio pensato a quella formulina! E pensare che è pure del precorso!

Per quanto riguarda l'utilizzo di Fatou, anche io avevo pensato a quell'argomento, ma non mi convince molto in quanto se prendo il liminf di una sottosuccessione, questo sarà maggiore o uguale del liminf della successione. Cioè, per Fatou avrei:

\(\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \int_{\Omega} u_n ^{8102} \leq \liminf_{k \to \infty} \int _{\Omega} u_{n_k} ^{8102} \geq \int _{\Omega} u_\infty ^{8102}\)

ed è quel minore o uguale che non capisco come togliere. Cioè, non mi torna che basti partire dalla sottosuccessione che realizza il liminf.

[LucaMac]

Provo a rispondere io: Prima si prende una \(u_{n_k}\) tale che \(\liminf_{n} \int u_n^{8012} = \lim_k \int u_{n_k}^{8102}\) ed a questo punto si estrae una sottosuccessione di \(u_{n_k}\) convergente quasi ovunque. (Come detto da C_Paradise comunque)

Propongo anche un mio dubbio sulla regolarità: Sappiamo che \(u \in L^{\infty}\) e dunque \(f=8102u^{8101} \in L^2\), allora \(u \in H^2\), come faccio ora a concludere che \(f=8102u^{8101} \in H^2\)? Mi spiego meglio, nelle lezioni non è stato fatto solo il caso \(W^{1,p}\) per cose del tipo \(g(u)\)? Sarà anche una banalità, ma proprio non ci arrivo.