Scritti d'esame 2019

[Massimo Gobbino]

Qui di seguito i testi degli scritti.

[Massimo Gobbino]

E qui sotto, con relativa calma e geologico ritardo, le tracce di soluzioni.

Quindi tanto vale aprire la discussione!

[tommy1996q]

Provo a scrivere la soluzione al primo esercizio.

[+] Soluzione_Ex_1

L'equazione da studiare è \((1 + \dot{u}^2) \ddot{u}= 1 + u^3 + x^2\) con le condizioni \(u(0)=\dot{u}(3)=3\). Ora, la condizione sulla funzione si porterà nel problema di minimo, mentre quella sulla derivata dovrà nascere "on the road" dalla condizone \(L_p(3)=0\) (ovvero, deve nascere dall'imposizione che i termini di bordo nella seconda forma integrale di ELE si annullino). Integrando un po' l'espressione sopra e modificando opportunamente la lagrangiana "standard" che viene, si ottiene una lagrangiana modificata che fa al caso nostro, e che dovrebbe essere \(L(x,s,p)=\frac{p^4}{12} + \frac{p^2}{2} - 12 p + \frac{s^4}{4} + (1 +x^2)s\). Imponendo infatti che \(L_p(3)=0\) troviamo come unica soluzione \(\dot{u}(3)=3\), e la ELE differenziale rimane quella che volevamo. Passiamo quindi a studiare il problema di minimo:
\(min \left\{ F(u)=\int_{0}^3 L(x,u,\dot{u}) dx | u(0)=3 \right\}\).

1)FORMULAZIONE DEBOLE
Ci mettiamo in \(W^{1,4}(0,3)\)

2)COMPATTEZZA
Come nozione di convergenza scegliamo quella uniforme per la parte di funzione e la debole \(L^4\) per quella di derivata. Prendiamo ora il sottolivello \(F(u) \leq M\). Tralasciando termini positivi, abbiamo a maggior ragione che \(\int_0 ^3 \frac{\dot{u}^4}{4} - 12 \dot{u} + (1+x^2)u \leq M\). Noto che \(|u(x)| \leq |u(0)| + || \dot{u}||_4 |x|^{3/4}\), e in definitiva posso stimare uniformemente \(|u(x)|\) con \(A +B ||\dot{u}||_4\), con \(A,B\) costanti. Sostituendo viene un polinomio in \(||\dot{u}||_4\) il cui termine di grado più alto ha grado pari e coefficiente positivo, quindi dovendo essere \(F(u) \leq M\), ne segue che \(|| \dot{u}||_4\) è limitato. Da questo, usando la DBC \(u(0)=3\) e l'equiholderianità, siamo nelle ipotesi di Ascoli Arzelà e per la parte di funzione posso estrarre una sottosuccessione che converge uniformemente. Da questa ne posso estrarre un' altra per cui le derivate convergono debole in \(L^4\), visto che le palle sono debolmente compatte.

3)SCI

Per la parte di funzione non ho problemi. Condizioni al bordo e stime integrali passano tranquillamente al limite per convergenza uniforme.

Per la parte di derivata, basta osservare che convergenza debole \(L^4\) implica convergenza debole \(L^1\) e che la parte di derivata è una funzione convessa in \(\dot{u}\). Questo, per un risultato visto a lezione, garantisce la SCI

4)UNICITA'

Abbiamo provato l'esistenza, bisogna provare l'unicità. SI fa nel solito modo, usando la convessità (stretta) della lagrangiana nella variabile \(p\) e la DBC in 0. Detto \(u\) un punto di minimo, sia \(u + v\) un altro competitore, con \(v(0)=0\). Per stretta convessità, deve essere \(\dot{v}=0\), altrimenti avrei una disuguaglianza stretta per convessità. Ma \(v(0)=0 \; + \; \dot{v}=0 \implies v=0\), da cui ottengo l'unicità del minimo.

5)REGOLARITA'

Dalla seconda forma integrale di ELE ottengo:

\(\left( \frac{\dot{u}^3}{3} + \dot{u} -12 \right)^{'} = 1 + u^3 + x^2 \in C^0\), dove con \(u'\) indico la derivata debole. Ma il LHS è dato da \(\phi(\dot{u})\) con \(\phi(s)=\frac{s^3}{3}+s -12\), funzione \(C^{\infty}\) strettamente crescente e perciò invertibile. Abbiamo già che \(\phi(\dot{u}) \in C^1\), in quanto la sua derivata debole è continua. Invertendo la \(\phi\) otteniamo \(\dot{u} \in C^1\) da cui \(u \in C^2\). Per bootstrap si guadagna \(u \in C^\infty\).

[Massimo Gobbino]

Va piuttosto bene il solito fil rouge del metodo diretto.

Segnalo solo due dettagli, perché sono dei classici che costano dei punti in sede di correzione.

1. Per l'unicità, non basta dire che il minimo è unico, in quanto il testo chiede l'unicità della soluzione dell'equazione differenziale + BC. Bisogna quindi prima osservare che ogni soluzione di equazione + BC è punto di minimo del funzionale.
2. In sede di regolarità, non basta osservare la stretta monotonia e quindi l'esistenza dell'inversa, ma occorre che l'inversa sia regolare, il che segue dalla stretta positività della derivata e non dalla stretta monotonia.

Segnalo poi due possibili varianti.

• Cambiare variabile in modo da ridursi a BC più classiche (uguali a 0 invece che a 3).
• Ambientare il problema in \(W^{1,2}\), osservando che si ammette + infinito come possibile valore del funzionale (tanto sappiamo che + infinito è uno di noi).

[FraMatte]

Provo ad impostare una soluzione alternativa al quarto esercizio. Consideriamo le seguenti disuguaglianze:
\(\begin{split} & \int_\Omega \sin(xy) u^2 \ dx dy \leq \int_\Omega u^2 \ dx dy \\
& C \int_\Omega ( u_x^2 + u_y^2 - u_x u_y) \ dx dy \leq C \int_\Omega (e^{xy} u^2_x + u^2_y + \cos(x) u_x u_y) \ dx dy
\end{split}\)
Nella prima si è usato che il seno è sempre minore uguale ad uno e nella seconda il fatto che l'esponenziale sia maggiore uguale ad 1 nel dominio del problema e che il coseno sia sempre maggiore o uguale a -1. Voglio ora provare che vale la seguente disuguaglianza:
\(\lvert \lvert u \rvert \rvert_2^2 = \int_\Omega u^2 \ dx dy \leq C \int_\Omega ( u_x^2 + u_y^2 - u_x u_y) \ dx dy\)
Se \(\lvert \lvert u \rvert \rvert_2^2 = 0\) la disuguaglianza è banalmente vera, altrimenti divido per \(\lvert \lvert u \rvert \rvert_2^2\) e studio, sulla falsariga della dimostrazione della disuguaglianza di Poincarè - Wirtiger, il seguente problema di minimo
\(\min \left \{ \int_\Omega (u_x^2+u_y^2-u_xu_y) \ dx dy \colon \lvert \lvert u \rvert \rvert_2 = 1\right \}\)
Da qui in avanti, sempre che non abbia avuto sviste, dovrebbe essere una normale applicazione del metodo diretto.

[Massimo Gobbino]

A parte l'eliminazione abusiva del coseno già segnalata in questo thread

http://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Forum ... 9070#p9070

il finale detto così

Da qui in avanti, sempre che non abbia avuto sviste, dovrebbe essere una normale applicazione del metodo diretto.

non mi convince per nulla. Ad esempio, il tuo argomento sembrerebbe funzionare anche se ci fosse stato 777 volte il coseno, mentre in quel caso penso proprio che le cose sarebbero andate male.

[Albus23]

Ho una domanda sulla soluzione del terzo esercizio nel primo compito.
Trattandosi di un dominio arbitrario (non tutto le spazio o un semispazio) la stima che abbiamo ricavato nella lezione 46 coinvolge anche la norma nello spazio \(H^1\) di u che nella soluzione non compare. Come funziona?

[gino]

Il fatto che si annulli al bordo dovrebbe garantire un'estensione tranquilla a tutto \(\mathbb{R}^2\), oppure direttamente essere a supporto compatto in omega implica esserlo su tutto il piano.

[gino]

nel punto 3a del compito del 23 febbraio.
\(\Omega\) palla aperta in \(\mathbb{R }^3\), \(\mathcal{F}=\{u \in H^1(\Omega)\) tali che \(\int u^2+2u_x^2+3u_y^2+4u_z^2 \le 5\}\) dire se
\(sup\{\int|u-artcan(xyz)|^3\}\) è un max.
Non riesco a riformulare il problema in termini di un problema di minimo per applicare il metodo diretto come suggerito nella soluzione probabilmente mi sfugge qualcosa di semplice.
Alternativamente potrebbe andar bene una soluzione di questo tipo.
Considero una successione suppizzante \(u_n\), in particolare essendo \(u_n \in \mathcal{F}\) la successione è limitata in norma
\(H^1\) quindi ammette una sottosuccessione che converge debolmente a \(u \in \mathcal{F}\) (la funzione che definisce \(\mathcal{F}\) è convessa più SCI forte). Ora dal momento che l'immersione \(H^1 \to L^3\) è compatta \(u_n\) ammette una sottosuccessione che converge in norma \(L^3\). Senza rinominare la sottosuccessione ottengo \(u_n-arcatn(xyz)\) converge in norma \(L^3\) quindi \(lim_{n\to \infty} \int |u_n -arctan(xyz)|^3=\int |u-arctan(xyz)|^3\). E in realtà anche qui mi rimane oscuro perchè il limite in \(H^1\) sia lo stesso che in \(L^3\), stavo pensando se in qualche modo il duale di \(L^3\) contenesse il duale di \(H^1\) in modo da poter dedurre la convergenza debole al limite debole della successione in \(H^1\) anche in \(L^3\) (ovviamente per restrizione da un funzionale lineare su \(L^3\) ne ottengo uno su \(H^1\), ma è continuo?)

[Massimo Gobbino]

E perché mai il metodo diretto si applicherebbe solo ai problemi di minimo?

Cosa intendi poi qui con convergenza debole? Dove?

[gino]

E perché mai il metodo diretto si applicherebbe solo ai problemi di minimo?

No infatti però immagino che qui il trucchetto non possa essere semplicemente mettere un meno davanti , pensavo più un qualcosa tipo quello della dimostrazione della Poincarè-Wirtinger?

Cosa intendi poi qui con convergenza debole? Dove?

Intendo \(\phi(u_n) \to \phi(u)\) per ogni \(\phi\) nel duale, ho fatto qualche errore concettuale?

Grazie della risposta

[Massimo Gobbino]

Boh, a me sembra tutto molto più semplice, e non serve nemmeno mettere un segno meno davanti.

Basta prendere una successione suppizzante, osservare che è limitata in \(H^1\) per colpa o merito del vincolo, quindi per immersione compatta ammette una sotto-successione convergente in \(L^3\), e per continuità del resto dedurre che il limite è proprio un punto di massimo cercato. Praticamente è la solita dimostrazione di Weierstrass.

[gino]

Chiaro, grazie mille.

La domanda, forse stupida, che mi rimane è quando scriviamo per continuità, cioè in \(H^1\) la successione converge debolmente e l'operatore di immersione \(T\) è un operatore compatto tra due banach quindi perchè ho la continuità weak-strong?

Cioè siamo arrivati ad avere una successione che converge forte il \(L^3\) e debole in \(H^1\) perchè il limite è lo stesso secondo le due nozioni di convergenza? ( Penso non possa succedere che il limite sia diverso, al massimo esiste in un caso e nell'altro no però non riesco a vederlo)

[Massimo Gobbino]

Quando sopra scrivevo per continuità intendevo semplicemente che, se \(u_n\to u_\infty\) in \(L^3\), allora

\(\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\int|u_n-\arctan(xyz)|^3=\int|u_{\infty}-\arctan(xyz)|^3.\)

Questa è sostanzialmente la continuità di una traslazione e della norma.

La convergenza debole in \(H^1\) in tutto questo non serve proprio a nulla. Dalla limitatezza in \(H^1\), via immersioni compatte, segue l'esistenza della sottosuccessione che ci serve, senza passare dalle convergenze deboli.

Poi se vogliamo possiamo, per curiosità accademica, metterci a disquisire della convergenza debole in \(H^1\). Pongo allora due domande, sperando che qualcuno risponda.

• Cosa vuol dire, non tautologicamente, che \(u_n\rightharpoonup u_\infty\) debole in \(H^1\) ?
• Se \(u_n\to u_\infty\) forte \(L^{27}\) e \(u_n\rightharpoonup v_\infty\) debole \(L^{34}\), possiamo concludere quello che vorremmo? Perché?

[gino]

Ok, su quello ci sono però forse quello che mi manca è un passaggio stupido, noi stavamo studiando il problema di massimo in \(H^1\) e abbiamo trovato \(u_\infty\) che realizza il sup in \(L^3\); non vorrei che \(u_\infty \in H^1\)? per questo tiravo fuori che volevo che le \(u_n\) convergessero anche debole \(H^1\)

Provo a pensare alle altre domande nel frattempo, grazie per la pazienza.