Scritti d'esame 2018

[Massimo Gobbino]

Qui di seguito posterò gli scritti man mano che escono.

Con molto ritardo potrebbero arrivare anche delle tracce di soluzioni.

[Crusp]

Salve a tutti,

Avrei una domanda relativa al quarto esercizio di questo scritto d'esame:

Ho dimostrato - sperando di non aver sbagliato - che la famiglia di funzionali \(G_\epsilon(u)=\int_0^1 \epsilon {u''}^2+\cos(u')+\cos(u) dx\) dove \(u\) varia in \(X=\{u \in H^{2,2}:u(0)=1,u'(0)=1\}\) gamma converge (per \(\epsilon \rightarrow 0^+)\)in \(X\) rispetto alla metrica indotta da \(L^2\) al funzionale \(F(u)=\int_0^1 \cos(u')+\cos(u) dx\) in modo equicoercivo.

Per rispondere all'ultima domanda posso quindi dire semplicemente che \(m_\epsilon \rightarrow\)(minimo di \(F\) in \(X\)) senza cercare di determinare quale esso sia?.

Grazie!

[Massimo Gobbino]

Ho dimostrato - sperando di non aver sbagliato -

O tempora, o mores! Non ci sono più i Gamma-limiti di una volta, che avevano la buona creanza di essere LSC ...

Ora invece pure l'equicoercività non si nega più a nessuno.

[Crusp]

Salve Professore...a quanto pare ho sbagliato tutto E il fatto di non capire bene dove sta la falla nel mio ragionamento mi preoccupa abbastanza.

Scrivo la mia dimostrazione, sperando di capire dove stanno i problemi:

Supponiamo di aver dimostrato la parte \(a)\), ovvero che \(m_\epsilon\) è ben definito per ogni \(\epsilon >0\)(Questo si fa usando il metodo indiretto).

Chiamo quindi \(G_{\epsilon}\) la famiglia di funzionali \(G_{\epsilon}(u)= \int_{0}^{1} \epsilon u''^2 +cos{u'}+cos{u}\, dx\) e li vedo come funzionali da \(X \rightarrow \mathbb{R}\) e non da \(L^2 \rightarrow \mathbb{R}\) (Forse ho già qui qualche problema? Anche se non capisco bene perché: la teoria fatta in classe non va bene per un qualsiasi spazio metrico, in questo caso un sottospazio metrico di \(L^2\)?).

Vorrei mostrare che \(G_{\epsilon}\) gamma converge ad \(F\). Per far questo sfrutto il seguente lemma:

LEMMA:

Sia (X,d) spazio metrico, \(f_\epsilon: X \rightarrow \mathbb{\overline{R}}\) una famiglia di funzionali ed \(f_\infty: X \rightarrow \mathbb{\overline{R}}\). E supponiamo che

\(\cdot\) Valga la lim-inf inequality;

\(\cdot\) Esista un denso in energia per \(f_\infty\) tale che per ogni punto di esso valga la limsup-inequality;

allora \(f_\infty\) è il gamma limite della famiglia.



Mostriamo quindi che vale la liminf inequality:

Sia \(u_\epsilon \in X \rightarrow u\) per \(\epsilon \rightarrow 0^+\) rispetto la metrica di \(L^2\). Consideriamo quindi 2 casi:

1) liminf\(G_\epsilon(u_\epsilon)=+\infty\) e quindi è tutto ok;

2) A meno di una sottofamiglia \(||G_\epsilon(u_\epsilon)||_{L^2} \leq M\) per un certo \(M\).

In questo secondo caso, con considerazioni simili a quelle che si possono fare per risolvere il primo punto dell'esercizio, si trova - sfruttando condizioni al bordo, compattezza...- una sottofamiglia (che indicherò ancora con le stesso indice) tale che:

\(u_\epsilon \rightarrow\) uniformente ad un certo \(u_\infty\), le derivate deboli (che in realtà sono proprio derivate, visto che siamo in \(H^{2,2}\)) tendono tendono uniformemente alle derivate di \(u_\infty\) e le derivate deboli seconde tendono debolmente in \(L^2\) alle derivate deboli seconde di \(u\). In particolare abbiamo estratto una sottofamiglia che converge (rispetto questa nozione di convergenza) ad un elemento che sta ancora in \(X\).

Per concludere quindi che vale la liminf inequality basta quindi osservare che

liminf \(G_\epsilon(u_\epsilon)\geq\)liminf (sottofamiglia)\(\geq liminf \int_{0}^{1} cos{u_\epsilon'}+cos{u_\epsilon}\, dx=\int_{0}^{1} cos{u_\infty'}+cos{u_\infty}\, dx\)

dove questo ultimo passaggio è vero per la convergenza addirittura uniforme della sottofamiglia e delle loro derivate.



Passiamo quindi alla limsup inequality:


Osservo che un denso in energia per \(F\) è \(D=\{u \in C^2: u(0)=0, u'(0)1\). Infatti se \(u \in X\) allora esiste una successione di funzioni in \(D\) che converge ad \(u\) in \(L^2\) e tale che derivate e derivate deboli seconde convergono rispettivamente alla derivata e alla derivata debole seconda di \(u\). ( Sicuramente esiste una successione in \(C^2\)che converge in quel modo, per la definizione alternativa dello spazio di sobolev, ma in effetti non mi sono soffermato troppo a pensare che le condizioni al bordo potessero essere un problema ).

Allora abbiamo chiaramente che il limite passa sotto il segno di integrale (per esempio perché cos è Lipschitz).

Resta quindi da mostrare che per ogni \(u \in D\) esiste una recovery. Per questo fine, basta in effetti prendere la successione costante uguale a se stessa: si vede subito che tutto torna.

Per quanto la coercività...( che a quanto pare ho ancora sbagliato ) magari la posto domani. Magari capire dove ho sbagliato in questa prima parte mi potrebbe aiutare anche per quell'altra.

Grazie (sopratutto per la pazienza!).


p.s. In generale passa qualche giorno tra lo scritto e l'eventuale orale?

[Massimo Gobbino]

p.s. In generale passa qualche giorno tra lo scritto e l'eventuale orale?

Intanto rispondo sulla burocrazia: essendo un esame per pochi studenti, di solito gli orali sono ragionevolmente "trattabili", nel senso che ci si mette d'accordo. Questo ovviamente non vuol dire che da febbraio si passa ad aprile o giugno .

Per quanto riguarda la matematica, ovviamente l'errore c'è, e sono praticamente sicuro che è lo stesso che produce l'equicoercività abusiva. Vorrei però aspettare un attimo a rivelarlo, sperando che nel frattempo intervenga qualcuno del "popolo di internet" ad evidenziarlo. Si impara molto di più postando soluzioni e controllando quelle degli altri che ascoltando i video delle lezioni. Per questo ringrazio Crusp e gli altri che intervengono. Crusp, dopo averlo visto, non farà più quell'errore per tutta la sua vita, mentre chi non interviene lo rifarà all'esame .

Faccio però intanto un'osservazione generale che non ha a che fare con l'errore. Di solito è comodo ambientare i problemi in tutto \(L^2\), ammettendo come valore anche \(+\infty\) al di fuori del "dominio naturale". Non voglio con questo dire che l'ambientazione in X sia sbagliata, solo che suona un po' buffa questa paura atavica dell'infinito (almeno di quello con il +, perché quello con il meno è più subdolo).

[C_Paradise]

Ciao! Provo a dare un suggerimento sperando di non aggiungere confusione

Consideriamo la famiglia di funzioni \(u_\varepsilon(x) = \frac{1}{2\sqrt{\varepsilon}} x^2 + x + 1\) che verifica le condizioni al bordo.

Inoltre \(G_\varepsilon(u_\varepsilon) \le 2 + \int_0^1 \varepsilon \cdot \ddot{u}^2_\varepsilon \, dx = 3\),

d'altra parte \(u_\varepsilon\) non può convergere uniformemente a un limite perché per ogni \(x \in (0,1]\) si ha \(\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0^+} u_\varepsilon (x) = +\infty\).

Questo ci dice che in generale da \(G_\varepsilon(u_\varepsilon) \le M\) non si può dedurre \(u_\varepsilon \to u\) uniformemente.

Nel punto (a) si gioca tutto ad \(\varepsilon\) fissato e quindi da \(G_\varepsilon(u_n) \le M\) si deduce che esiste una sottosuccessione \(\ddot{u}_{n_k} \rightharpoonup v\), quando facciamo la liminf inequality invece \(\varepsilon\) e \(n\) giocano alla pari quindi le cose si complicano.

Infatti da \(G_\varepsilon(u_\varepsilon) \le M\) possiamo dedurre che \(||{\ddot{u}_\varepsilon}||_2^2 \le \frac{M+2}{\varepsilon}\) che non aiuta a conquistare la (debole) compattezza.

Spero di essere stato utile e di non aver detto cavolate

[Crusp]

Grazie mille, sei stato chiarissimo!

Adesso dovrei solo cercare di capire come fare (davvero ) l'esercizio.

[C_Paradise]

Non so se è l'idea giusta, ma potrebbe essere conveniente cercare di capire chi è il rilassato di \(G_\varepsilon\). Ma ancora prima quanto ci aspettiamo che valga il limite di \(m_\varepsilon\)?

[Massimo Gobbino]

Spero di essere stato utile e di non aver detto cavolate

Certo che no: ottima spiegazione! L'errore era quindi nella frase

con considerazioni simili a quelle che si possono fare per risolvere il primo punto dell'esercizio

Proprio un paio di giorni fa si commentava con un collega francese che spesso gli errori si nascondono dietro espressioni del tipo "è ovvio che", "si vede facilmente che", "in modo analogo si ottiene che". Con l'esperienza si impara a diffidare di quelle espressioni.

Quanto al vero Gamma-limite, mi pare che ci sia un typo nell'aiutino di C_Paradise, che suppongo volesse suggerire di capire chi è il rilassato di quello che è risultato essere il Gamma-limite sbagliato. A quel punto si conclude in poche righe (il rilassato dei \(G_\varepsilon\) sono chiaramente loro stessi, essendo LSC).

[Crusp]

Grazie! Provo a scrivere la soluzione:

Ricordo che \(X=u \in H^{2,2}: u(0)=1, u'(0)=1\).

\(G_\epsilon= \int_{0}^{1} \epsilon u''^2 +cos{u'}+cos{u}\, dx\) se \(u \in C^2:u(0)=1, u'(0)=1\) e \(+ \infty\) altrimenti(in \(L^2\) meno questo spazio).

Si vuole dimostrare che il gamma limite dei \(G_\epsilon\) è \(F(u):= \int_{0}^{1} -1 +cosu\, dx\) se \(u \in X\) e -1 altrimenti ( mi sembra sia questo il rilassato del "gamma limite sbagliato") ed e è chiaro che basta dimostrare che il gamma limite dei \(F_\epsilon(u):=\int_{0}^{1} \epsilon u''^2 +cos{u'}\) è uguale \(\int_{0}^{1} -1\) su tutto \(L^2\).

LIM INF inequality:

Sia \(u_\epsilon \in L^2 \rightarrow u\) per \(\epsilon \rightarrow 0^+\).

Consideriamo quindi 2 casi:

1) liminf\(F_\epsilon(u_\epsilon)=+\infty\) e quindi è tutto ok;

2) A meno di una sottofamiglia \(||F_\epsilon(u_\epsilon)||_{L^2} \leq M\) per un certo \(M\). In particolare abbiamo che \(u_\epsilon \in C^2\) (e verifica le condizioni al bordo) per ogni \(\epsilon\) (della sottofamiglia..).

Abbiamo quindi che liminf\(\int_{0}^{1} \epsilon u_\epsilon''^2 +cos{u_\epsilon'} \geq\) liminf \(\int_{0}^{1} -1\, dx\).

LIM SUP inequality:

Considero le funzioni affini a tratti:

-costituiscono un denso in energia per la funzione costante uguale a -1

-inoltre posso approssimare (addirittura uniformente) ogni funzione affine a tratti con delle rette di pendenza del tipo \(\pi + 2k\pi\).

E' chiaro quindi che vale la limsup inequality.

Sia adesso \(\lambda\) il minimo di \(\int_{0}^{1} cosu\), allora osservo che:

liminf\(_{\epsilon \rightarrow 0^{+}} m_\epsilon \leq -1 + \lambda\) \(\leq\)liminf\(_{\epsilon \rightarrow 0^{+}}m_\epsilon\).

E quindi abbiamo che il liminf, che è a questo punto un limite, è uguale a \(-1 + \lambda\).

[Massimo Gobbino]

Meglio di prima, ma ci sono ancora un po' di cose che non vanno.

Intanto il Gamma-limite è

\(F\displaystyle(u)=\int_0^1(-1+\cos u)\,dx\)

per ogni \(u\in L^2\).

Questo si dimostra abbastanza facilmente.

• La liminf segue dalla disuguaglianza \(G_\varepsilon(u)\geq F(u)\), valida su tutto \(L^2\), e dalla continuità in \(L^2\) di \(F(u)\) (che va giustificata, anche se è praticamente ovvia).
• Per quanto riguarda la limsup, basta fare il limite puntuale sulle funzioni regolari che verificano le BCs (cosa banale), osservare che viene il "Gamma-limite sbagliato", e concludere osservando che il rilassato del Gamma-limite sbagliato è proprio \(F(u)\) (questo va dimostrato, ovviamente, tenendo conto con cura di cosa accade delle BCs). Questa è una tecnica standard: se si riesce a dimostrare che un Gamma-limsup è minore di qualcosa, allora è minore pure del rilassato del qualcosa.

Poi quel \(\lambda\) finale va calcolato esplicitamente (è una banalità, ma va detto), ed anche le due disuguaglianze finali con il limite di \(m_\varepsilon\) vanno spiegate per bene.

[Massimo Gobbino]

Mi ero dimenticato dello scritto 2, che ho aggiunto ora. Non sarebbe male che qualcuno postasse delle soluzioni.

[Firnen]

Mi ero dimenticato dello scritto 2, che ho aggiunto ora. Non sarebbe male che qualcuno postasse delle soluzioni.

Mi sto preparando per il secondo appello estivo, ma ho ancora qualche dubbio qua e là. Continuo a incepparmi su qualche ragionamento e spesso non riesco proprio a uscirne fuori. Per questo motivo ho deciso di provare a pubblicare una mia "soluzione" dello scritto 2.

Esercizio 1

\(F(u)=\displaystyle\int_0^1\{(\dot{u}-x^2)^2+u \}dx\)

La Lagrangiana \(L(x,s,p)=(p-x^2)^2+s\) è convessa nelle variabili \((s,p)\), ma non strettamente, come si può verificare facilmente guardando la matrice Hessiana.

Caso \(u(0)=0\)
L'insieme X ( C^2 o L^2 con DBC) è anche spazio vettoriale, quindi considero \(v\) con \(v(0)=0\).
\(\phi(t)=F(u+tv)=\displaystyle\int_0^1\{(\dot{u}+t\dot{v}-x^2)^2+u+tv \}dx\)
\(\phi'(t)=\displaystyle\int_0^1\{2(\dot{u}+t\dot{v}-x^2)\dot{v}+v \}dx\)
\(\delta F(u,v)=\phi'(0)=\displaystyle\int_0^1\{2(\dot{u}-x^2)\dot{v}+v \}dx\)
e, integrando per parti ottengo:

\(\displaystyle\int_0^1 (-2\ddot{u}+4x+1)v dx +\big[2(\dot{u}-x^2)v\big]_0^1\).

Ottengo così la solita ELE \(L_p'=L_s\), cioè \(2\ddot{u}-4x=1\) e la NBC \(\dot{u}(1)=1\).
Risolvendo con omogenea associata + soluzione particolare si ottiene, modulo aver sbagliato i conti, \(u(x)=\displaystyle\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{12}x\) che è minimo per convessità della Lagrangiana.

Caso \(u(1)=u(0)+3\)

\(\displaystyle\int_0^1 (-2\ddot{u}+4x+1)v dx +\big[2(\dot{u}-x^2)v\big]_0^1\).

Ho la stessa (ELE) ma questa volta \(v\) è tale che \(v(1)=v(0)\), permettendomi così di raccogliere i termini di bordo e trovare la NBC \(\dot{u}(1)=\dot{u}(0)+1\).

Il sistema \(\begin{cases}2\ddot{u}-4x=1 (ELE)\\ u(1)=u(0)+3 (DBC)\\ \dot{u}(1)=\dot{u}(0)+1 (NBC) \end{cases}\)

sembra però non aver soluzione.

[Firnen]

Per l'esercizio 2 non riesco proprio a concludere in modo convincente e colgo l'occasione per fare qualche domanda.

\(\ddot{u}=\displaystyle\frac{7+u}{7+\sin\dot{u}}\) con \(\dot{u}(0)=7\) e \(u(7)=0\)

Porto al LHS il denominatore e integrando posso ridurmi a studiare il problema di minimo del funzionale

\(F(u)=\displaystyle\int_0^7 \frac{7}{2}\dot{u}^2-\sin\dot{u} + 7u + \frac{u^2}{2}dx\)

con DBC \(u(7)=0\), sperando di trovare la condizione \(\dot{u}(0)=7\) come NBC. Ma \(L_p(0,u(0),\dot{u}(0))=7\dot{u}(0)-\cos\dot{u}(0)=49-\cos7\neq0\). Mi si aprono qui due strade, o modificare il funzionale o cambiare variabile. Mi piacerebbe molto adottare quest'ultima strada per "buttare" la modifica dentro il seno, che tanto è limitato dal basso, ma non riesco proprio a trovare una sostituzione che mi faccia tornare i conti (colpa di \(\cos\dot{u}\) ). Adottando la prima strategia, il funzionale diventa

\(F(u)=\displaystyle\int_0^7 \frac{7}{2}\dot{u}^2-\sin\dot{u} -(49-\cos7)\dot{u} + 7u + \frac{u^2}{2}dx\).

Vorrei adesso adottare il metodo diretto. Riguardo alla formulazione debole è tutto ben definito in \(H^1\), DBC comprese.
Per sistemare la compattezza riguardo alla solita nozione di convergenza, sfrutto che \(\sin\dot{u}_n\geqslant-1\) e \(\displaystyle\frac{u_n^2}{2}\geqslant0\\). So che, poiché le \(u_n\) son di Sobolev, allora

\(|u_n(x)|\leqslant|u_n(7)|+|u_n(x)-u_n(7)|\leqslant\sqrt7\|\dot{u}_n\|_{L^2}\).

L'unico termine che mi mancherebbe da trattare è \((49-\cos7)\dot{u}\). Posso accorparlo al termine \(\dot{u}\) con un completamento di quadrati e dire che \(||\dot{u}_n-c||_{L^2}<+\infty\Leftrightarrow||\dot{u}_n||_{L^2}<+\infty\)? Non son andato avanti, ma penso che riguardo la SCI e la regolarità il procedimento sia standard.

[Firnen]

Esercizio 4
\(\displaystyle m_\epsilon=min\Big\{\int_0^1(\dot{u}^2+\dot{u}^6+\epsilon\sin u) dx : u \in C^1([0,1]), u(0)=0, u(1)=\epsilon \Big\}\)
\(m_\epsilon\) esiste per applicazione del metodo diretto. Per ogni epsilon infatti il seno è limitato dal basso e \(\dot{u}^6\geqslant0\), da cui ottengo la compattezza. La SCI si ottiene sapendo che il termine con il seno si sistema con la convergenza uniforme, mentre i termini con \(\dot{u}\) si sistemano assieme grazie alla convessità. La regolarità infine si conquista discutendo ELE debole (ad una certa sarà necessaria la monotonia di \(\dot{u}^2+\dot{u}^6\) in [0,1] per poter invertire ed ottenere la regolarità di \(\dot{u}\)).

Riguardo alla convessità secondo me \(0\leqslant \epsilon \leqslant \pi\). Scrivo (ELE) e ottengo \(2\ddot{u}+30\dot{u}^4\ddot{u}=\epsilon\cos u\), che può essere portata in forma normale \(\ddot{u}=\displaystyle \frac {\epsilon\cos u}{2+30\dot{u}^4}\). Devo quindi studiare il segno di \(\ddot{u}\). Esso ha deminatore sempre positivo, lo studio del segno si riduce allo studio di \(\cos u\). Quest'ultimo è >0 quando \(0\leqslant u(x) \leqslant \pi\), \(\forall x \in [0,1]\). So che \(u(1)=\epsilon\). Quindi \(\epsilon\) non può essere maggiore di \(\pi\), sennò, per continuità, esisterebbe un c tale \(u(x)>\pi\), \(\forall x \in (c,1]\), portandomi ad avere \(\cos u < 0\). Dico che invece tutti gli \(\epsilon \geqslant \ pi\) vanno bene. Infatti il minimo non può superare \(\epsilon\), se lo superasse, potrei pagare sicuramente meno per troncamento ( i pezzi costanti costano poco).
Per il punto c) Ansatz \(u(x)=\epsilon v(x)\).
Ottengo \(\displaystyle F(u)=\int_0^1(\dot{u}^2+\dot{u}^6+\epsilon\sin u) dx =\\ \displaystyle
\int_0^1(\epsilon^2\dot{v}^2+\epsilon^6\dot{v}^6+\epsilon\sin {\epsilon v}) dx= \\ \displaystyle\epsilon^2\int_0^1(\dot{v}^2+\epsilon^4\dot{v}^6+\frac{\sin {\epsilon v}}{\epsilon}) dx=\epsilon^2G_\epsilon (v)\).
La dimostrazione che \(G_\epsilon (v)\xrightarrow{\Gamma}\displaystyle\int_0^1\dot{v}^2+vdx\) si fa sfruttando la convessità e Taylor.

Purtroppo, infine non ho ancora capito come approcciare l'esericizio 3. Vorrei affrontarlo in maniera identica a come fatto a lezione nella Lezione 28, approssimando arcotangente e seno con il loro Taylor (anche vicino ad l, u è nulla), ma non so proprio come formalizzarlo... quello che abbiamo fatto nella Lezione 41 mi sembra concettualmente molto diverso...