Testi compitini 2015/2016

[ghisi]

Questi sono i testi dei compitini dell' a.a. 2015/2016

[GIMUSI]

allego lo svolgimento dei compitini 2015-2016

[EDIT] le revisioni recepiscono le osservazioni della Prof.ssa Ghisi

[EDIT] le revisioni 02 recepiscono le ulteriori osservazioni della Prof.ssa Ghisi

[ghisi]

Per quanto riguarda la soluzione del primo compitino:

- nel secondo esercizio: la stima sulla funzione \(f\) e il fatto che si annulli solo nell'origine vanno dimostrati;

- nel terzo esercizio il fatto che l'insieme è limitato va giustificato (anche solo con un disegno...). Inoltre l'insieme di taglio è una circonferenza nel piano \(xz\), dove la funzione vale \(x+z\), quindi si può anche trattare più semplicemente senza ricorrere a due moltiplicatori.

Per quanto riguarda la soluzione del secondo compitino:

- il primo esercizio non è corretto: l'insieme su cui integrare è \(1\leq x \leq e\), \(x^8 \leq y \leq x^9\).

Per quanto riguarda la soluzione del terzo compitino:

- nel primo esercizio tutta la superficie è una superficie di rotazione, quindi si può fare più velocemente (senza passare dalle superfici cartesiane).

[GIMUSI]

grazie per i commenti e correzioni...ho revisionato lo svolgimento dei tre compitini

Per quanto riguarda la soluzione del primo compitino:

- nel secondo esercizio: la stima sulla funzione \(f\) e il fatto che si annulli solo nell'origine vanno dimostrati;

- nel terzo esercizio il fatto che l'insieme è limitato va giustificato (anche solo con un disegno...). Inoltre l'insieme di taglio è una circonferenza nel piano \(xz\), dove la funzione vale \(x+z\), quindi si può anche trattare più semplicemente senza ricorrere a due moltiplicatori.

ho provato a dettagliare meglio i passaggi incriminati, spero così sia sufficientemente giustificato

...
Per quanto riguarda la soluzione del secondo compitino:

- il primo esercizio non è corretto: l'insieme su cui integrare è \(1\leq x \leq e\), \(x^8 \leq y \leq x^9\).

questo era proprio sbagliato di brutto...spero ora vada meglio

PS l'insieme su cui integrare dovrebbe essere: \(1\leq x \leq e^{9/8}\), \(x^8 \leq y \leq x^9\)

...
Per quanto riguarda la soluzione del terzo compitino:

- nel primo esercizio tutta la superficie è una superficie di rotazione, quindi si può fare più velocemente (senza passare dalle superfici cartesiane).

così va molto meglio eh...come monito ho lasciato nella revisione anche il metodo poco furbo

[ghisi]

Per quanto riguarda la soluzione del primo compitino:

- nel secondo esercizio: la stima sulla funzione \(f\) e il fatto che si annulli solo nell'origine vanno dimostrati;

ho provato a dettagliare meglio i passaggi incriminati, spero così sia sufficientemente giustificato

No, non sai se \(x \geq 0\), anzi il problema è proprio dove è negativo quindi la radice di \(x\) non la puoi scrivere!

Per quanto riguarda la soluzione del secondo compitino:

- il primo esercizio non è corretto: l'insieme su cui integrare è \(1\leq x \leq e\), \(x^8 \leq y \leq x^9\).

questo era proprio sbagliato di brutto...spero ora vada meglio

PS l'insieme su cui integrare dovrebbe essere: \(1\leq x \leq e^{9/8}\), \(x^8 \leq y \leq x^9\)

No, nell'insieme deve essere \(x^9 \leq e^9\) quindi \(x\leq e\). Il disegno dell'insieme è sbagliato.

[GIMUSI]

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No, non sai se \(x \geq 0\), anzi il problema è proprio dove è negativo quindi la radice di \(x\) non la puoi scrivere!

quindi non è corretto neppure distinguendo i due casi \(x \geq 0\) e \(x \leq 0\)?

dovevo precisare qualcosa che ho dato per scontato? tipo continuità, weierstrass generalizzato

[ghisi]

...
No, non sai se \(x \geq 0\), anzi il problema è proprio dove è negativo quindi la radice di \(x\) non la puoi scrivere!

quindi non è corretto neppure distinguendo i due casi \(x \geq 0\) e \(x \leq 0\)?

dovevo precisare qualcosa che ho dato per scontato? tipo continuità, weierstrass generalizzato

Nel caso di \(x < 0\) otterresti la differenza di due quadrati. Il fatto è che hai fatto il raccoglimento sbagliato.

[GIMUSI]

ecco ora dovrebbe essere tutto a posto...spero

non mi è ancora chiaro tuttavia perché il procedimento precedente per il secondo esercizio del primo compitino non fosse corretto; se si mostra che sia per le x positive sia per quelle negative posso scrivere la funzione come somma di quadrati:

per \(x \geq 0 \: f(x,y)=x^2+y^4+xy^2 = (x-y^2)^2+3xy^2 \geq 0\) con \(f(x,y)=0 \Leftrightarrow \: x=y=0\)

per \(x \leq 0 f(x,y)=x^2+y^4+xy^2 = (x+y^2)^2-xy^2 \geq 0\) con \(f(x,y)=0 \Leftrightarrow \: x=y=0\)

non posso concludere allo stesso modo che f ha minimo in x=y=0?

[ghisi]

ecco ora dovrebbe essere tutto a posto...spero

non mi è ancora chiaro tuttavia perché il procedimento precedente per il secondo esercizio del primo compitino non fosse corretto; se si mostra che sia per le x positive sia per quelle negative posso scrivere la funzione come somma di quadrati:

per \(x \geq 0 \: f(x,y)=x^2+y^4+xy^2 = (x-y^2)^2+3xy^2 \geq 0\) con \(f(x,y)=0 \Leftrightarrow \: x=y=0\)

per \(x \leq 0 f(x,y)=x^2+y^4+xy^2 = (x+y^2)^2-xy^2 \geq 0\) con \(f(x,y)=0 \Leftrightarrow \: x=y=0\)

non posso concludere allo stesso modo che f ha minimo in x=y=0?

Si così va bene, non avevo visto che nella versione precedente c'erano due casi distinti.

[GIMUSI]

...
Si così va bene, non avevo visto che nella versione precedente c'erano due casi distinti.

bene! temevo mi si fosse completamente obnubilata la ragione

la ringrazio molto per la pazienza e la grande disponibilità nel fornire ogni volta i necessari chiarimenti