Applicazioni lineari 1

[GIMUSI]

Non c'è nessuna differenza rilevante tra l'uso di una base o l'altra. Si tratta semplicemente di una scelta da fare, ed in questo caso ho optato per partire dal basso. L'unica comodità è che così uno sa che il quarto elemento della base è [tex]x^3[/tex], sia che lo spazio considerato sia quello dei polinomi di grado minore od uguale a 3, sia che si tratti dei polinomi di grado minore od uguale a 15. Tutto qui.

chiaro....altrimenti le basi cambierebbero "posizione" per polinomi diversi...procedo con la stessa convenzione anche per i successivi test

[Paolo]

Negli ultimi due esercizi non dovrebbe venire una 4 x 2 ? Negli altri esercizi i vettori si mettono in colonna ...

[GIMUSI]

Negli ultimi due esercizi non dovrebbe venire una 4 x 2 ?

lo spazio di partenza è [tex]R^4[/tex] e quello di arrivo [tex]R^2[/tex]...per tale motivo la matrice associata dovrebbe essere una 2 righe x 4 colonne

...Negli altri esercizi i vettori si mettono in colonna ...

non ho capito la domanda

[baraonda]

Ciao Ragazzi, qualcuno mi potrebbe spiegare come trovare la matrice associata negli esercizi con spazi di polinomi e spazi di matrici?

[GIMUSI]

Ciao Ragazzi, qualcuno mi potrebbe spiegare come trovare la matrice associata negli esercizi con spazi di polinomi e spazi di matrici?

una volta che si stabiliscono le basi in partenza e arrivo tutto segue in modo naturale

la matrice associata alla [tex]f[/tex] è quella che fa corrispondere alle componenti secondo la base di partenza le componenti secondo la base d'arrivo

per i polinomi una possibile scelta per la base canonica è costituita dai termini: [tex]1, x, x^2,...[/tex]

quindi ad esempio in [tex]R_\leq_2[x][/tex] il polinomio [tex]a+bx+cx^2[/tex] ha componenti [tex](a,b,c)[/tex]

se [tex]f[/tex] da [tex]R_\leq_2[x][/tex] a [tex]R_\leq_2[x][/tex] è l'applicazione lineare che fa corrispondere a [tex]p(x)[/tex] la sua derivata (in generale bisognerebbe verificare che lineare lo sia), al polinomio [tex]a+bx+cx^2[/tex] corrisponde il polinomio [tex]b+2cx[/tex] di componenti (b,2c,0)[tex][/tex]

allora la matrice associata a f ha per colonne [tex](0,0,0) (1,0,0) (0,2,0)[/tex]

per le matrici una possibile scelta della base canonica è costituita dalle [tex]mxn[/tex] matrici (costruite ad esempio riga per riga) con un solo uno e tutti zeri

fissata la base anche per le matrici si procede in modo del tutto analogo a quanto visto prima

per capirlo bene è necessario aver fatto gli esercizi delle schede sugli spazi vettoriali e sui sottospazi vettoriali

[baraonda]

Grazie per la spiegazione GIMUSI, ma avrei ancora qualche problemino.....i primi esercizi sui polinomi mi tornano ma mi sono bloccato all'esercizio 15...in questo caso come devo procedere?

[nomeutente]

Prendi la base canonica x^3,x^2,x,1 e sostituisci nell'applicazione lineare un componente alla volta.
Tipo:
f(x^3) = (x+1)3x^2 - 2x^3 = x^3 + 3x^2
ecc.
Quando hai trovato questi coefficienti li metti in colonna nella matrice pensando che la prima riga corrisponde al termine x^3, la seconda a x^2 ecc, ecc.

[GIMUSI]

Prendi la base canonica x^3,x^2,x,1 e sostituisci nell'applicazione lineare un componente alla volta.
Tipo:
f(x^3) = (x+1)3x^2 - 2x^3 = x^3 + 3x^2
ecc.
Quando hai trovato questi coefficienti li metti in colonna nella matrice pensando che la prima riga corrisponde al termine x^3, la seconda a x^2 ecc, ecc.

esatto...occhio però che nell'esercizio si richiede di usare la base [tex]1,x,x^2,x^3,...[/tex] non cambia nulla nella sostanza ma troveresti matrici differenti...

allego lo svolgimento dell'esercizio 15

[baraonda]

Vi ringrazio siete stati molto chiari!

[alex994]

scusa GIMUSI ma a me nell'esercizio 17 la matrice mi viene
0 0 0
1 0 0
1 3 1
0 0 2

e mi protesti fare un esempio di come si devono svolgere gli esercizi sulle matrici

[GIMUSI]

scusa GIMUSI ma a me nell'esercizio 17 la matrice mi viene
0 0 0
1 0 0
1 3 1
0 0 2

lo verifichi immediatamente vedendo dove va il vettore base [tex]x^2[/tex]:

[tex]xp(2x)+x^2p(1)=x(2x)^2+x^2=4x^3+x^2=(0,0,1,4)[/tex]

[alex994]

scusa GIMUSI ma a me nell'esercizio 17 la matrice mi viene
0 0 0
1 0 0
1 3 1
0 0 2

lo verifichi immediatamente vedendo dove va il vettore base [tex]x^2[/tex]:

[tex]xp(2x)+x^2p(1)=x(2x)^2+x^2=4x^3+x^2=(0,0,1,4)[/tex]

giusto mi ero sbagliato sul primo termine