Scritti d'esame 2019 e 2020

[Massimo Gobbino]

Qui di seguito i testi degli scritti.

[Massimo Gobbino]

E qui di seguito prima o poi (direi più poi che prima ) le tracce di soluzioni.

Nel frattempo però sarebbe auspicabile aprire la discussione.

[DanieleT]

Gentile Professore,

nel problema 4 per calcolare il rilassato di \(\int_0^1 \sin (\dot u)\), visto che \(sin(p)\) non ha crescita superlineare, io avrei mostrato l'esistenza delle recovery sequences sulle affini a tratti. Leggendo la soluzione mi sembra di capire che, anche se non si ha crescita superlineare, in questo caso, si può comunque calcolare il rilassato usando il fatto che la funzione costantemente uguale a \(-1\) è l'inviluppo convesso della funzione \(\sin(p)\). Come mai?

[DanieleT]

Gentile Professore,

nel problema 4 per calcolare il rilassato di \(\int_0^1 \sin (\dot u)\), visto che \(sin(p)\) non ha crescita superlineare, io avrei mostrato l'esistenza delle recovery sequences sulle affini a tratti. Leggendo la soluzione mi sembra di capire che, anche se non si ha crescita superlineare, in questo caso, si può comunque calcolare il rilassato usando il fatto che la funzione costantemente uguale a \(-1\) è l'inviluppo convesso della funzione \(\sin(p)\). Come mai?

[Massimo Gobbino]

Avevo visto il messaggio, ma non sempre si ha il tempo di rispondere. Non sarebbe male se non dovessi farlo sempre io ... ci sarà qualcuno che in questo momento sta studiando la materia.

Il rilassato del funzionale

\(\displaystyle\int_a^b\sin(u')\)

è l'integrale di \(-1\) a tappeto. Questo è un enunciato piuttosto rapido e va interpretato. Detto con più dettagli, stiamo considerando il funzionale che vale l'espressione scritta sulle funzioni con una certa regolarità, e + infinito altrimenti in un certo ambiente più generale, ad esempio \(L^2\). Il risultato è che il suo rilassato è l'integrale di \(-1\) in tutto l'ambiente più generale.

La dimostrazione è banale per quanto riguarda la stima dal basso, mentre per quanto riguarda le recovery basta osservare che le affini a tratti sono un denso in energia (rispetto a questa energia banale) e per quelle è facile fare la costruzione.

Il risultato che citi tu è invece più complicato, e riguarda il caso di dipendenza dalla derivata (come in questo caso), ma con Lagrangiana superlineare all'infinito. In questo caso la conclusione è che il rilassato ha una rappresentazione simile con la convessificata. Detto così sembrerebbe la stessa cosa, ma invece la differenza è profonda quando andiamo a scrivere per bene le cose. Ora la vera tesi è che il rilassato è uguale all'espressione con la convessificata se u sta in un opportuno spazio, mentre è + infinito altrimenti. In altre parole, avere il rilassato finito vuol dire essere abbastanza regolari, al contrario del caso con il seno in cui chiunque ha il rilassato finito.

In termini di dimostrazione, la difficoltà diventa dimostrare la stima dal basso, perché in certi casi bisogna dimostrare che si sta sopra + infinito, il che non è banale come stare sopra \(-1\) nel caso del seno.

[DanieleT]

Compito 2 Problema 4 parte (a)

Per dimostrare la gamma convergenza delle \(F_\epsilon\) al funzionale \(F_0\) su quale spazio stiamo estendendo i funzionali?

Speravo che bastasse considerare le seguenti estensioni ad \(L^2\):

\(F_\epsilon (u) = \int_0^1 \epsilon \dot u^2 + \dot u ^4 - sin(u^2) + u^4\) se \(u\) è \(C^1([0,1])\) con \(u(0)=0\) e \(u(1)=\epsilon\) ed \(F_\epsilon(u)\) uguale ad infinito altrove su \(L^2\)

\(F_0 (u) = \int_0^1 \dot u ^4 - sin(u^2) + u^4\) se \(u\) è \(C^1([0,1])\) con \(u(0)=0\) e \(u(1)=0\) ed \(F_0(u)\) uguale ad infinito altrove su \(L^2\)

Ma così facendo non vedo come utilizzare il suggerimento di usare come recovery le \(u \in C^1([0,1])\), senza condizioni al bordo.

[Massimo Gobbino]

Giusto, giusto, bisogna epsilon-correggere il dato al bordo. Il suggerimento corretto è che

\(F_\varepsilon(u+\varepsilon x)\to F_0(u)\)

per ogni u regolare nulla al bordo.

[Massimo Gobbino]

Ho caricato una nuova versione dello Scritto_4, con un piccolo cambiamento che rende molto meno delicato lo studio di un caso critico.

[Massimo Gobbino]

Ho corretto un evidente typo nell'esercizio 4c dello Scritto_8.