Simulazione scritto d'esame

[tommy1996q]

Grazie! Quindi, vediamo se torna tutto:

\(\displaystyle \liminf_{n \to \infty} \int_{\Omega} u_n ^{8102} = \lim_{k \to \infty} \int_{\Omega} u_{n_k} ^{8102} = \liminf_{j \to \infty} \int_{\Omega} u_{n_{k_{j}}} ^{8102} \geq \int_{\Omega} u_{\infty} ^{8102}\)

Dove la prima sottosuccessione è infizzante e la seconda sottosuccessione converge quasi ovunque al limite in \(L^p\).
Per quanto riguarda la domanda che hai fatto tu, non basterebbe ricalcare la dimostrazione fatta per la composizione esterna richiedendo la limitatezza non solo della derivata prima, ma anche di quelle successive? A quel punto credo che potresti concludere per convergenza puntuale dominata, nello stesso modo in cui si conclude il teorema nel caso \(W^{1,p}\)

[LucaMac]

Sicuramente qui si crea un mio nuovo dubbio che è "Perché se ho convergenza il \(L^p\) a meno di sottosuccessioni ho convergenza quasi ovunque (questo sì) e dominata di \(L^p\)?".
Solamente che nel caso di derivate doppie si vanno a creare dei quadrati, nello specifico, la derivata seconda rispetto ad \(x_i\) di \(g(u)\) verrebbe \(g'(u)D^2_{x_i}u + g''(u)(D_{x_i}u)^2\). Possiamo ancora dire che c'è dominazione? in questo caso però il \(L^{2p}\) credo...

[C_Paradise]

Perché se ho convergenza in \(L^p\) a meno di sottosuccessioni ho convergenza quasi ovunque (questo sì) e dominata di \(L^p\)?

Se non ricordo male segue dalla dimostrazione che esiste la sotto che converge quasi ovunque, comunque provo a ricordarmela e poi a postarla!

[tommy1996q]

Si, la dominazione segue dalla dimostrazione della convergenza quasi ovunque. Al problema dei quadrati non avevo pensato, in effetti...

[LucaMac]

Perché se ho convergenza in \(L^p\) a meno di sottosuccessioni ho convergenza quasi ovunque (questo sì) e dominata di \(L^p\)?

Se non ricordo male segue dalla dimostrazione che esiste la sotto che converge quasi ovunque, comunque provo a ricordarmela e poi a postarla!

Sono riusciuto a trovare una dimostrazione di questa cosa:
Prendo, a meno di sottosuccessione che non rinominerò, \(u_n\) che converge quasi ovunque e che dista in \(L^p\) al più \(n^{-2}\) dal limite. Ora posso stimare \(|u_n|^p \leq (|u|+\sum_n |u_n-u|)^p\) e questa è una dominazione per Beppo-Levi e Minkovski!

[tommy1996q]

Ora posso stimare \(|u_n|^p \leq |u|^p+\sum_n |u_n-u|^p\) e questa è una dominazione!

Esattamente, è questa la dominazione che si usa. Il problema grosso, che non saprei davvero come affrontare, è quella derivata al quadrato.

[Massimo Gobbino]

Perché se ho convergenza il \(L^p\) a meno di sottosuccessioni ho convergenza quasi ovunque (questo sì) e dominata di \(L^p\)?

Urka: ho usato decine di volte questo fatto durante il corso. La prima volta ricordo anche di aver chiesto se potevo darlo per buono da corsi precedenti, ed il coro di risposte affermative ottenuto mi aveva confortato . In ogni caso, come già osservato, la dominazione è un facile corollario del lemma di accelerazione che produce la sottosuccessione che converge puntualmente. Dovrebbe essere un risultato di base dei corsi che introducono gli spazi \(L^p\). Comunque si trova, per esempio, come Teorema 4.9 sul Brezis.

Per quanto riguarda la regolarità, deve entrare nell'immaginario collettivo che è sempre una sofferenza, e che più si è in dimensione bassa e meglio è. Il teorema fatto a lezione sulla composizione g(u) è, in fondo, una fregatura, perché richiede g Lipschitz e quindi non si applica alle potenze.

Qui per fortuna siamo in dimensione abbastanza bassa e la g è una potenza. La domanda è quindi:

se \(u\in L^\infty\cap H^2\) e l'insieme è limitato in \(\mathbb{R}^3\), posso dedurre che \(u^{1000}\in H^2\) ?

Non mi sembra difficilissimo. Quali sono i termini che danno fastidio? Dove vorremmo che stessero?

[C_Paradise]

I termini che danno fastidio dovrebbero essere \((D_{x_i}u)^2\) perché a priori stanno solo in \(L^1\), ma il fatto che \(\Omega\) sia decente dovrebbe dirci ad esempio che \(D_{x_i}u \in L^6\)? Di conseguenza avremmo che \((D_{x_i}u)^2 \in L^3\) e dunque in \(L^2\) perché l'insieme ha misura finita. Una volta che otteniamo \(u \in H^4\) dovrebbe essere tutto in discesa?

[tommy1996q]

I termini che danno fastidio dovrebbero essere \((D_{x_i}u)^2\) perché a priori stanno solo in \(L^1\), ma il fatto che \(\Omega\) sia decente dovrebbe dirci ad esempio che \(D_{x_i}u \in L^6\)?

Ok, questo per immersione, giusto? Però, perché siamo in \(H^4\)?

[LucaMac]

I termini che danno fastidio dovrebbero essere \((D_{x_i}u)^2\) perché a priori stanno solo in \(L^1\), ma il fatto che \(\Omega\) sia decente dovrebbe dirci ad esempio che \(D_{x_i}u \in L^6\)? Di conseguenza avremmo che \((D_{x_i}u)^2 \in L^3\) e dunque in \(L^2\) perché l'insieme ha misura finita. Una volta che otteniamo \(u \in H^4\) dovrebbe essere tutto in discesa?

Credo lo sia, dopo aver verificato che \(D_{x_i}u \in H^3\) e dunque, per un teorema di immersione, \(D_{x_i} u \in L^{\infty}\), così come la derivata seconda. Il resto dovrebbe farsi tutto in modo analogo.

Comunque sta in \(H^4\) perché la potenza giusta sta in \(H^2\) (e vale l'equazione).

Mi chiedo però come si fa a fare nel caso \(\Delta u = \sin u\), che mi pare sia fatto in \(\mathbb{R}^d\) nelle lezioni.

[C_Paradise]

Il seno è Lipschitz

[tommy1996q]

Credo lo sia, dopo aver verificato che \(D_{x_i}u \in H^3\) e dunque, per un teorema di immersione, \(D_{x_i} u \in L^{\infty}\), così come la derivata seconda. Il resto dovrebbe farsi tutto in modo analogo.

Comunque sta in \(H^4\) perché la potenza giusta sta in \(H^2\) (e vale l'equazione

Scusate ma mi sono perso un attimo. Quando si verifica che \(D_{x_i} u\in H^3\)? Non andrebbero viste le derivate fino all’ordine 4? E poi, in che senso “sta in \(H^4\) perché la potenza giusta sta in \(H^2\)”?

Cioè ok che \(D_{x_i} u\in L^6\) per immersione, ma poi come concludi che \(u \in H^4\)?

[C_Paradise]

Per prima cosa il fatto che il seno sia Lipschitz non mi sembra bastare per dire che se \(u \in H^2(\mathbb{R}^d)\) allora anche \(\sin u \in H^2(\mathbb{R}^d)\)..

Per quanto riguarda il resto se chiamiamo \(g(x,y,z)=u(x,y,z)^{8102}\) abbiamo per esempio che

\(\displaystyle D_{x,x} g = 8102 \cdot 8101 u^{8100} \cdot (D_x u)^2 + 8102 u^{8101} \cdot D_{x,x} u\).

Ora se sappiamo che \(u \in H^2 \cap L^{\infty}\) e che \((D_x u)^2 \in L^2\) allora anche \(D_{x,x} g \in L^2\) e questo insieme al conto analogo per le altre derivate dovrebbe bastare per riuscire a dire che \(g \in H^2\) a questo punto usando l'equazione si ottiene \(u \in H^4\), sempre che non ci siano errori in giro..

[tommy1996q]

Che equazione intendi? La ELE?

[C_Paradise]

Sì, pensavo alla versione iterata del teorema in alto a lezione 44.