necessità di Hint per esercizio calcolo variazioni(es 3 23/settembre/2017)

[Andrea_s]

Buonasera a tutto il forum, ho delle difficoltà nello svolgere la parte b dell'esercizio 3 dell' esame di elementi di calcolo delle variazioni del 23 settembre 2017.
Ecco il testo

\(\displaystyle\inf\left\{ \int_{0}^{\ell}(1+u^2)\dot u^2 -10\sin^2(u) +u^6 \cos(x)\, dx\right\}\quad \text{con} \quad u(0)=u(\ell)=0\)

(a) Determine for which values of \(\ell\) the infimum is actually a minimum.
(b) Determine for which values of \(\ell\) the minimum exists and is negative.

un breve sketch delle mie considerazioni sulla situazione
(a) se cos(x) è negativo ho una situazione analoga al caso \(\inf\left\{\int_{0}^{\ell}\dot u^4 -u^6 dx \right\}\) che ha infimum -infinito,
se cos(x) è positivo il minimo esiste per applicazione del metodo diretto
(b) osservo che l'integrale appliccato alla funzione nulla u0 è nullo, studiando la variazione seconda di u0 concludo che per
\(\ell\geq \pi\) u0 non è un weak local minimum, quindi il minimum deve essere negativo.
Il mio problema è che non so che considerazioni posso fare per l<Pi, dove u0 è addirittura uno strong local minimum....
Ogni suggerimento è super gradito

[Massimo Gobbino]

Ho spostato nella sezione di CdV per renderlo più visibile ai potenziali interessati.

(a) Ma allora quali sono i valori del parametro per cui il minimo esiste?

(b) Ma quale sarebbe la variazione seconda calcolata nella funzione nulla? Quando ha un segno?

[Crusp]

Provo a dare una risposta al punto (b):

(Purtroppo non sono capace di metterlo come spoiler) [EDIT by Massimo Gobbino: l'ho fatto io e ho anche aggiunto un pezzettino mancante in una formula]

[+] soluzione_punto_b

Per quanto detto nel punto (a) il minimo dovrebbe esistere quando \(l \leq \frac{\pi}{2}\).

Sia quindi \(l < \frac{\pi}{2}\). Si osserva che \(u_0 = 0\) è soluzione dell'equazione di Eulero associata al funzionale. Vorrei adesso far vedere che \(u_0\) è il minimo globale e quindi che non esiste nessun valore di \(l\) tale per cui il minimo è negativo.

Si osservi che il nostro funzionale è maggiore uguale a \(G(u)=\int_{0}^{l}u'^2 -10u^2+u^6\cos x\, dx\), per il quale, se non ho sbagliato i conti, si vede che \(u_0\) è un minimo globale. Infatti sia \(w=u_0+v\) un competitore (con v nulla al bordo).

Si consideri allora \(\phi(t)=G(u_0+tv)\). Facendo uno sviluppo di Taylor con resto di Lagrange si trova:

\(\phi(1)=G(u_0+v)=G(u_0)+V^2(u_0+t_*v)\)

con \(V^2\) variazione seconda di \(G\)e \(t_* \in [0,1]\). (Dove si è sfruttato il fatto che \(u_0\) è soluzione dell'ELE anche per questo secondo funzionale.)

Calcolando \(V\) viene fuori che è sempre maggiore o uguale a 0, quindi in effetti \(0\) è un minimo globale.

[Andrea_s]

Buonasera,

ehm si in effetti avrei dovuto scrivere in questa sezione del forum .

@Crusp
Eh si...mi torna tutto quello che hai scritto... non mi sarebbe mai venuto in mente di usare una funzione ausiliaria per risolvere il problema... e grazie mille che ti sei preso la briga di spendere del tempo per rispondermi .
Tra l'altro mi sa che si possa anche evitare di calcolare \(V^2(u_0+t_\star v )\), osservando che la lagrangiana di \(G\) è convessa rispetto alle variabili \(u\) e \(\dot{u}\), e quindi, insieme al fatto che \(u_0\) verifica la ELE di \(G\) e le condizioni al bordo, concludere che \(u_0\) è in effetti un minimo di \(G\).

[Andrea_s]

Tuttavia ora che ci penso meglio sorge un problema non da poco usando la funzione ausiliaria \(G\), ovvero con \(u_0=0\) vale \(G(u_0)=-10\), quindi quello che si prova davvero è che \(F(u)\geq-10\) ... e non basta per risolvere il problema

[Andrea_s]

Ho spostato nella sezione di CdV per renderlo più visibile ai potenziali interessati.

(a) Ma allora quali sono i valori del parametro per cui il minimo esiste?

(b) Ma quale sarebbe la variazione seconda calcolata nella funzione nulla? Quando ha un segno?

(a) per \(0<l\leqslant\pi/2\) ho esistenza del minimo (metodo diretto)
(b) qui avevo sbagliato qualche conto , comunque la domanda se \(u_0=0\) sia un global minimum per certi valori di l mi rimane:

la variazione seconda di \(u_0\) è \(\delta^2F(u_0,v)=\int_{0}^{l} 2\dot{v}^2 -20v^2 dx\) per la quale la condizione (L+) è verificata \(\forall l>0\) e la condizione (J) non è verificata per \(l>\pi/\sqrt{10}\).
quindi per \(\pi/\sqrt{10}<l<\pi/2\) il minimo esiste ed è negativo.
Ma ora non saprei come procedere per vedere se il minimo globale è in effetti \(u_0\) per \(l\leqslant\pi/\sqrt{10}\)

[Massimo Gobbino]

Mi pare che ormai ci siamo.

• Per \(\ell>\dfrac{\pi}{2}\) l'inf viene \(-\infty\) (ma va giustificato bene).
• Per \(\dfrac{\pi}{\sqrt{10}}<\ell\leq\dfrac{\pi}{2}\) il minimo esiste ed è negativo (esiste per il metodo diretto, è negativo perché la soluzione nulla soddisfa (L+) ma non (J), e quindi non è nemmeno DLM).
• Per \(\ell\leq\dfrac{\pi}{\sqrt{10}}\) il minimo è zero in quanto
  
  \(\displaystyle F(u)\geq\int_0^\ell (\dot{u}^2-10u^2)\,dx\)
  
  e quest'ultimo è un funzionale quadratico non negativo.

[Andrea_s]

Grazie mille dell'aiuto

[Crusp]

Grazie a entrambi!