limite in 3 variabile

[Valerio]

Buongiorno, come posso risolvere questo limite di cui non riesco a trovare una soluzione?
\(x^2+y^2+z^2-xyz\) per \([x^2+y^2+z^2→ +∞]\) nel dominio \(D={(x,y,z) in R^3 : 1≤y≤2, 0≤x≤z}\)

Grazie in anticipo per la gentile attenzione

[GIMUSI]

allego un possibile svolgimento

[+] hint

farsi un'idea di D e utilizzare le coordinate cilindriche

PS credo che i limiti in più variabili vadano postati in "Calcolo Differenziale in più variabili"

[Valerio]

allego un possibile svolgimento

[+] hint

farsi un'idea di D e utilizzare le coordinate cilindriche

PS credo che i limiti in più variabili vadano postati in "Calcolo Differenziale in più variabili"

grazie per il gentile aiuto però una volta giunti al passaggio \(1-y/2≤1-y/2sin(2ϑ)≤1\) poi non ho capito il passagio conclusivo, ad esempio come è venuto y=2 e perchè è stato selezionato tutto l'insieme ϑ∈ (π/4 ,π/2]

[GIMUSI]

...
grazie per il gentile aiuto però una volta giunti al passaggio \(1-y/2≤1-y/2sin(2ϑ)≤1\) poi non ho capito il passagio conclusivo, ad esempio come è venuto y=2 e perchè è stato selezionato tutto l'insieme ϑ∈ (π/4 ,π/2]

ho suddiviso i casi:

se \(ϑ = π/4\) \(1-y/2sin(2ϑ)=1-y/2\) quindi:
- se \(y=2\) allora \(1-y/2sin(2ϑ)=0\) e il limite è 4
- se \(1 ≤ y < 2\) allora \(1-y/2sin(2ϑ)>0\) e il limite è \(+\infty\)

se \(ϑ∈ (π/4 ,π/2]\) allora \(1-y/2sin(2ϑ)>0\) e il limite è \(+\infty\) indipendentemente dal valore di y

[Valerio]

...
grazie per il gentile aiuto però una volta giunti al passaggio \(1-y/2≤1-y/2sin(2ϑ)≤1\) poi non ho capito il passagio conclusivo, ad esempio come è venuto y=2 e perchè è stato selezionato tutto l'insieme ϑ∈ (π/4 ,π/2]

ho suddiviso i casi:

se \(ϑ = π/4\) \(1-y/2sin(2ϑ)=1-y/2\) quindi:
- se \(y=2\) allora \(1-y/2sin(2ϑ)=0\) e il limite è 4
- se \(1 ≤ y < 2\) allora \(1-y/2sin(2ϑ)>0\) e il limite è \(+\infty\)

se \(ϑ∈ (π/4 ,π/2]\) allora \(1-y/2sin(2ϑ)>0\) e il limite è \(+\infty\) indipendentemente dal valore di y

Perfetto come sempre grazie mille per l'aiuto

[Massimo Gobbino]

Uhm, su questo esercizio mi pare che occorra fare ancora un po' di chiarezza. Per entrare più nello specifico, propongo delle varianti.

La funzione è sempre

\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xyz\)

Consideriamo poi i due insiemi

\(A=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: 1\leq y\leq 2,\ 0\leq x\leq z\}\)

\(B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: 1< y < 2,\ 0 < x < z\}\)

Le domande sono due.

1. (Abbastanza facile) Stabilire se esiste il limite all'infinito di f ristretta ai due insiemi A e B.
2. (Decisamente più delicata) In caso di risposta negativa alla domanda precedente, determinare liminf e limsup (sempre sia per la restrizione ad A sia per la restrizione a B).

[GIMUSI]

Uhm, su questo esercizio mi pare che occorra fare ancora un po' di chiarezza...

quindi lo svolgimento precedente è sbagliato?

...Per entrare più nello specifico, propongo delle varianti.
...

allego un tentativo di svolgimento per le varianti proposte