Test 14 - Funzioni - Esercizi teorici 2 (Es. >= 2014)

[GIMUSI]

allego un tentativo di svolgimento del Test 14

non credo sia un capolavoro ...se qualcuno vuole confrontarsi su qualche punto è il benvenuto!

[EDIT] la rev01 recepisce le correzioni segnalate da mentina qui sotto

[Mentina]

Nel 2.a se \(A\) è vuoto allora \(g\) non può proprio esistere.

Nel 4.d vale solo \(f(f^{-1}(E)) \subseteq E\). L'altra inclusione non vale quando qualche elemento di \(E\) non è raggiunto da alcuna freccia.

[GIMUSI]

grazie per le tue osservazioni!

Nel 2.a se \(A\) è vuoto allora \(g\) non può proprio esistere.

mi pare che l'esercizio parta dal presupposto che f esista e che dunque A non sia vuoto...o sbaglio?

Nel 4.d vale solo \(f(f^{-1}(E)) \subseteq E\). L'altra inclusione non vale quando qualche elemento di \(E\) non è raggiunto da alcuna freccia.

assolutamente corretto!!! non so perché ho ragionato come se f fosse surgettiva

hai dato un'occhiata anche al resto? ti sembra possa andar bene...se ci sono altri punti che non ti convincono fammi sapere...grazie

[Massimo Gobbino]

mi pare che l'esercizio parta dal presupposto che f esista e che dunque A non sia vuoto...o sbaglio?

Eheh, qui la burocrazia davvero colpisce . Se A è vuoto e B non lo è, allora esiste una funzione da A in B iniettiva (quale?), ma non esiste nessuna funzione da B in A surgettiva (perché?).

[GIMUSI]

...
Eheh, qui la burocrazia davvero colpisce . Se A è vuoto e B non lo è, allora esiste una funzione da A in B iniettiva (quale?), ma non esiste nessuna funzione da B in A surgettiva (perché?).

forse perché la definizione rigorosa:
\(\forall a \in A \enspace \exists ! b \in B : (a,b) \subseteq A \times B\)
regge se A è vuoto e B non lo è
In tal caso l’unica f iniettiva dovrebbe essere la “funzione vuota” \(\emptyset\)
mentre da B a A non funziona perché fallisce il "\(\exists !\)"

[Mentina]

hai dato un'occhiata anche al resto? ti sembra possa andar bene...se ci sono altri punti che non ti convincono fammi sapere...grazie

Gli altri mi vengono come i tuoi, grazie a te per tutte le risposte che hai postato

[GIMUSI]

...Gli altri mi vengono come i tuoi, grazie a te per tutte le risposte che hai postato

bene credevo di aver fatto un disastro completo