Effetto soglia ?

[Federico.M]

Salve, se qualcuno ha provato a risolvere l'esercizio 8 del test di allenamento n° 84 di AM1, vorrei confrontare i risultati ottenuti.
In particolare vorrei sapere:
c'è effetto soglia e per quale valore ?
C'è break down ?
Grazie...

[GIMUSI]

mi pare che il tuo svolgimento vada bene...allego anche il mio nel quale ho messo anche un grafico dei tre andamenti

[Federico.M]

mi pare che il tuo svolgimento vada bene...allego anche il mio nel quale ho messo anche un grafico dei tre andamenti

Ciao Gimusi, grazie per aver confrontato i tuoi risultati con i miei e, soprattutto, per aver inserito un grafico riassuntivo che io avevo tralasciato proprio a causa dei miei dubbi.
Volevo chiedere anche un'ultima cosa. Trattandosi di un'equazione autonoma, tutte le soluzioni si ottengono traslando orizzontalmente il grafico di una stessa soluzione, ma come si fa a conoscere a priori se il movimento deve essere da destra verso sinistra o viceversa ? Grazie...

[GIMUSI]

...Volevo chiedere anche un'ultima cosa. Trattandosi di un'equazione autonoma, tutte le soluzioni si ottengono traslando orizzontalmente il grafico di una stessa soluzione, ma come si fa a conoscere a priori se il movimento deve essere da destra verso sinistra o viceversa ? Grazie...

non sono sicuro di aver compreso il tuo dubbio e forse non ho nemmeno ben chiaro un quadro che copra tutta la generalità dei casi…provo comunque a dirti la mia giusto per confrontare un po’ le idee quindi considerale con beneficio d’inventario

per l’esercizio in esame è chiaro anche intuitivamente guardando il grafico che tutte le soluzioni si ottengono traslando orizzontalmente le tre famiglie di curve; quella in alto copre i valori iniziali >1 quella di soglia il caso =1 e quella sotto i casi <1;

ovviamente per i casi fuori soglia, avendo assunto il tempo di riferimento t=0, lo spostamento verso sinistra è limitato dal tempo massimo di vita; ma questo credo dipenda dal fatto che abbiamo assunto t=0 come riferimento (brutalmente: assumendo t=-10 potrei traslarle a sinistra di più)

in generale direi che per un dato un problema di cauchy autonomo tutte le soluzioni si ottengono per traslazione orizzontale di “una” soluzione mentre non è vero il viceversa; il quanto e da che parte si possa traslarle dipende non solo dall’equazione differenziale ma anche dalla condizione iniziale e non credo si possa stabilire a priori

spero di non aver detto troppe castronerie e nel caso attendiamo un conforto del prof

[Federico.M]

Si Gimusi, le tue considerazioni sono chiare e condivisibili, ma visto che non sei del tutto sicuro della validità delle stesse, tanto da evocare l'intervento risolutore del prof, vorrei aggiungere qualche considerazione anche io.
La questione sembra, almeno in apparenza, banale, visto che basta fissare dei valori del parametro per avere un'idea di come si spostano i grafici. Tuttavia l'aspetto degli stessi ricorda molto quello dei campi vettoriali ( ad esempio quello che indica la direzione dei venti e che spesso viene mostrato durante le previsioni meteorologiche ), che, a meno di castronerie, sembrano essere costruiti appunto disegnando i vettori tangenti a curve simili a quelle trovate da noi risolvendo queste equazioni differenziali ( forse queste cose sono affrontate nel programma di AM2, ma io non ci sono ancora arrivato nel vedere le video lezioni del prof.). Quindi questo dubbio forse ha una qualche rilevanza...

[Massimo Gobbino]

Qualche mia osservazione, visto che la discussione ha preso piede.

Intanto, pur non avendo controllato i conti, confermo il tipo di risultato. Se l'esponente del logaritmo è maggiore di 1 si ha blow up a + infinito per dati iniziali maggiori di 1 e break down a 0 per dati tra 0 e 1. Poi potremo discutere a lungo sulla natura del break down, come si è fatto recentemente in un esame di analisi 2 ... Invece se l'esponente del logaritmo è minore od uguale a 1 si ha sempre esistenza globale, per ogni dato iniziale maggiore di 0. Questo potremmo chiamarlo "effetto Osgood", per chi ha seguito le lezioni di analisi 2 (ma forse c'era già accennato nell'eserciziario di analisi 1).

La faccenda delle traslazioni mi sembra abbastanza chiara, e descritta per bene da GIMUSI. Traslando orizzontalmente delle soluzioni si ottengono acora soluzioni. La traslazione sarà verso destra o verso sinistra a seconda del punto per il quale vogliamo farla passare ...

Le linee integrali dei campi vettoriali non si vedono ancora in queste equazioni. Per quelle bisogna aspettare analisi 2, ed in particolare la parte finale sui sistemi di equazioni differenziali (anche se di campi si parla molto già prima).

[Federico.M]

Grazie professore per le sue osservazioni in merito all'esercizio e per le precisazioni sull'argomento successivo... ..