limiti dove compare la parte intera

[Joninho]

Buongiorno a tutti, sono uno studente al primo anno di Matematica perso l'Università degli studi di Firenze; un mio vecchio compagno di classe delle superiori che si è trasferito a Pisa per seguire Ingegneria Informatica mi ha consigliato di seguire questo grandissimo professore che ha il buon cuore di mettere tutte le sue lezioni online a disposizione di tutti. In tantissime situazioni sono stato "salvato" proprio perché quando non riuscivo a capire qualcosa dagli appunti che prendevo a lezione, o dal libro, la trovavo nei suoi video, solo un argomento non sono riuscito a trovare: la parte intera. So che cos'è e come funziona ma mi rimane difficile appena la trovo negli esercizi...
Il mio problema in particolare riguarda questi esercizi di Analisi sui limiti, dove compare proprio questa parte intera e tra una settimana ho il primo parziale e mi resta da capire solo quest'ultime cose...
Perdonatemi ma non riesco a scrivere il testo degli esercizi nella maniera in cui lo scrivete voi
Avrei da risolvere questi limiti:

lim 1/x - [1/x]
x-> 0
Qui il mio professore mi ha solo detto che il limite non esiste e di dimostrarlo con il lim sup e lim inf però non saprei come muovermi

lim 1/x^2 - [1/x]
x->0

lim 1/x^2 [1/x - [1/x]]
x->0
Qua posso dire che il limite fa 0 perché all'interno della parte intera più esterna mi ritrovo una parte intera, e la parte intera della parte intera è la parte frazionaria che è 0 spaccato. 0 spaccato diviso qualcosa che tende a infinito posso dire che non è una forma indeterminata dato che al numeratore ho proprio 0 e non qualcosa a cui ci tende?

lim [radice di n]! / n^2 ln(n)
n-> inf

lim [radice di (n^(2) + 1 )] - n
n->inf


Insomma su 6 esercizi, ho solo un'idea di come farne uno e magari è anche sbagliata

[GIMUSI]

Avrei da risolvere questi limiti:

lim 1/x - [1/x]
x-> 0
Qui il mio professore mi ha solo detto che il limite non esiste e di dimostrarlo con il lim sup e lim inf però non saprei come muovermi

non basterebbe osservare che 1/x - [1/x] = z - [z] (detta funzione mantissa) è periodica quindi non ha limite?

lim 1/x^2 - [1/x]
x->0

raccogliendo [tex]1/x^2[/tex]?

per gli altri così al volo non saprei...ci darò un'occhiata

PS per scriver ele formule devi usare il simbolismo LaTeX https://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics selezioanre il testo formattato e premere il tasto "tex" nella barra qui in alto

[Joninho]

la mantissa l'abbiamo fatta solo ad informatica, mi ricordo solo che il mio professore mi disse di dimostrare che non ha limite calcolando il lim inf/sup
per la seconda cosa, potrei scrivere parte intera di 1/x come 1 / [x] e una volta raccolto 1/x^2 confrontare x^2/[x]?

[GIMUSI]

la mantissa l'abbiamo fatta solo ad informatica, mi ricordo solo che il mio professore mi disse di dimostrare che non ha limite calcolando il lim inf/sup

per dimostrarlo formalmente credo...però mi pare scontato che non abbia limite essendo periodica (come sinx o cosx ad esempio)

per la seconda cosa, potrei scrivere parte intera di 1/x come 1 / [x] e una volta raccolto 1/x^2 confrontare x^2/[x]?

x^2/[x] dovrebbe tendere a zero no? quindi il limite dovrebbe andare a +inf...scusa ma l'ho fatto solo a mente ma credo sia così...prova poi mi dici

intanto allego un possibile svolgimento degli ultimi due...fammi sapere che ne pensi...ciao

[EDIT] ho postato più avanti le soluzioni corrette sulla base delle indicazioni del prof

[Joninho]

nel primo limite stoltz-cesaro non l'abbiamo fatto quindi non ti saprei dire... ad esempio, se pongo n=t^2? così a numeratore si leverebbe la radice e otterrei t! e a numeratore sicuramente qualcosa di minore
nel secondo limite invece, il risultato si fa zero però Taylor ancora non l'abbiamo fatto XD

edit. ho verificato che x^2/[x] non esiste in quanto il limite sinistro è 0 e quello destro è infinito, quindi cosa possiamo dire della funzione? Ho la somma di infinito con una funzione che non esiste moltiplicata per infinito

p.s. in ogni caso grazie per l'aiuto

[Massimo Gobbino]

Per mostrare che un limite non esiste basta trovare le due successioni opportune. In questo caso

[tex]a_n=\dfrac{1}{n}\quad\quad b_n=\dfrac{2}{2n+1}[/tex]

bastano e avanzano per avere la non esistenza del primo e del terzo limite (sono fatte in modo da andare a 0 ed avere, dentro la parte intera, una volta un intero ed una volta un intero più 1/2).

[EDIT: qui sul terzo limite ho preso una cantonata interpretando male le parentesi quadre "esterne" ... la correzione è in uno dei post successivi]

Per mostrare che il secondo limite fa + infinito basta usare un confronto. Dopo aver osservato che [tex][z]\geq z-1[/tex] sempre, si ottiene subito che

[tex]\dfrac{1}{x^2}-\left[\dfrac{1}{x}\right]\geq\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}+1[/tex]

da cui la tesi con poca fatica.

[Joninho]

Per mostrare che un limite non esiste basta trovare le due successioni opportune. In questo caso

[tex]a_n=\dfrac{1}{n}\quad\quad b_n=\dfrac{2}{2n+1}[/tex]

bastano e avanzano per avere la non esistenza del primo e del terzo limite (sono fatte in modo da andare a 0 ed avere, dentro la parte intera, una volta un intero ed una volta un intero più 1/2).

Per mostrare che il secondo limite fa + infinito basta usare un confronto. Dopo aver osservato che [tex][z]\geq z-1[/tex] sempre, si ottiene subito che

[tex]\dfrac{1}{x^2}-\left[\dfrac{1}{x}\right]\geq\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}+1[/tex]

da cui la tesi con poca fatica.

Che onore io e i miei compagni la veneriamo, gentilissimo

[GIMUSI]

allora per i primi tre ora è tutto chiaro...scusami se sul secondo ti ho depistato
[edit] anzi no non ti avevo depistato si può fare anche in quell'altro modo

resta da vedere se per quelli su N si riesce a trovare strade più semplici e dirette

[GIMUSI]

allego per completezza anche lo svolgimento dei primi tre, secondo le indicazioni del prof per il 1°e di joninho per il 3°

[EDIT] la rev01 dovrebbe essere l'ultima (si spera) con il 3° esercizio corretto come da segnalazione di joninho

[EDIT2] la rev02 corregge un'ulteriore imprecisione nella 3 segnalata dal prof

[Joninho]

allego per completezza anche lo svolgimento dei primi tre secondo le indicazioni del prof per il 1° e il 3°

non mi tornano un po di cose; nel terzo esercizio se utilizzo la prima successione x=1/n mi ritrovo n^2 [n-[n]] cioè infinito per 0, possiamo dire che va a 0?
quando poi utilizzo la seconda successione (2n+2)/2 in ogni caso all'intero della parte intera più interna (scusatemi il gioco di parole) mi ritrovo n+1/2 che è n. All'interno della parte intera più esterna quindi mi ritrovo la differenza tra la successione di partenza e n che fa appunto [1/2] che fa 0, quindi alla fine mi ritrovo la successione di partenza, elevata al quadrato per 0

[GIMUSI]

nel terzo esercizio se utilizzo la prima successione x=1/n mi ritrovo n^2 [n-[n]] cioè infinito per 0, possiamo dire che va a 0?

sì perché [n-[n]] = 0 quindi (per ogni n) n^2 [n-[n]]=0 (e quindi tende a 0)

quando poi utilizzo la seconda successione (2n+2)/2 in ogni caso all'intero della parte intera più interna (scusatemi il gioco di parole) mi ritrovo n+1/2 che è n. All'interno della parte intera più esterna quindi mi ritrovo la differenza tra la successione di partenza e n che fa appunto [1/2] che fa 0, quindi alla fine mi ritrovo la successione di partenza, elevata al quadrato per 0

hai ragione, vale la tua prima considerazione, il limite esiste e fa zero!

[Massimo Gobbino]

Ops , scusate, sul terzo avevo perso la doppia parentesi quadra con il significato di parte intera. A questo punto basta osservare che per ogni z vale la disuguaglianza

[tex]0\leq z-[z]<1[/tex]

e quindi

[tex][z-[z]]=0[/tex]

per ogni z, dunque il terzo limite è "finto", cioè è limite di roba che è sempre nulla.

Anche il quinto limite è finto, dal momento che un facile conto mostra che

[tex]n<\sqrt{n^2+1}<n+1[/tex]

per ogni intero positivo n, e quindi

[tex]\left[\sqrt{n^2+1}\right]=n[/tex]

Un attimo più delicato è quello con il fattoriale. In questo caso però il denominatore è decisamente troppo debole. Basta quindi osservare che

[tex]k!\geq (k-5)^5[/tex]

per ogni k abbastanza grande, quindi

[tex]\left[\sqrt{n}\,\right]!\geq\left(\left[\sqrt{n}\,\right]-5\right)^5\geq\left(\sqrt{n}-6\right)^5[/tex]

A questo punto si sostituisce e si chiude per confronto.

Insomma, in poche parole, la parte intera non può far male più di tanto. Quando causa non esistenza, basta usare differenti successioni che producano interi oppure interi più qualcosa (al esempio 0.5 o 0.99). Negli altri casi si usano le stime banali (occhio che è stretta da una parte ma non dall'altra)

[tex]a-1<[a]\leq a[/tex]

e di solito le cose si sistemano. Comunque questa discussione mi ha dato una bella idea: quando rifarò analisi 1 aggiungerò all'eserciziario qualche esercizio con la parte intera (e a questo punto anche la parte frazionaria ).

[Massimo Gobbino]

@GIMUSI: occhio che la disuguaglianza

[tex]\left[\dfrac{1}{x}\right]\leq\dfrac{1}{x-1}[/tex]

non è vera: basta provare con x=1/2. In quel punto, volendo seguire il tuo approccio, dovresti usare più banalmente

[tex]\left[\dfrac{1}{x}\right]\leq\dfrac{1}{x}[/tex]

cioè la solita stima dall'alto per la parte intera.

[GIMUSI]

@GIMUSI: occhio che la disuguaglianzanon è vera...

mannaggia a 'ste parti intere!!!

[GIMUSI]

Comunque questa discussione mi ha dato una bella idea: quando rifarò analisi 1 aggiungerò all'eserciziario qualche esercizio con la parte intera (e a questo punto anche la parte frazionaria ).

per i futuri studenti...io mi dissocio è tutta colpa (o merito) di joninho eh!!!