Geometria nello spazio 2

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento del test n.15 "Geometria nello spazio 2"

nella rev01 è stato completato l'esercizio 3 che era rimasto monco delle parti (b) e (c)

nella rev02 su segnalazione di odraode è stato corretto un errore nell'esercizio 5 (i)

[Giorgio9092]

mi trovo con tutti i risultati, complimenti per il lavoro che hai fatto mettendo tutte le soluzioni! mi hai dato una mano incredibile!

[GIMUSI]

mi trovo con tutti i risultati, complimenti per il lavoro che hai fatto mettendo tutte le soluzioni! mi hai dato una mano incredibile!

grazie...mi fa piacere che questo sia apprezzato e soprattuto utile per qualcuno...anche per me è utilissimo scambiare opinioni e idee su questo forum...ti consente e obbliga ad approfondire molto le cose

tra l'altro nel frattempo mi sono accorto che mi ero scordato di completare il (noiosissimo) esercizio 3...ho aggiornato il pdf in rev01

[odraode]

GIMUSI sono d'accordo con tutte le tue soluzioni tranne il punto 5i.
Ho seguito questa strategia: trovo la retta in forma parametrica cui appartiene il centro C della sfera.
Siccome i due piani tangenti alla sfera sono paralleli, allora il centro della sfera deve essere equidistante dai due piani.
Trovo la distanza tra i due piani come differenza delle loro distanze dall'origine. Quindi impongo che il punto C appartenga alla retta e che disti la metà della distanza fra i due piani.

Passando ai conti:
retta) [tex](1,0,-1)+t(0,2,4)[/tex]
dist(O,piano1) = [tex]\dfrac 3 {\sqrt 6}[/tex]
dist(O,piano2) = [tex]\dfrac 4 {\sqrt 6}[/tex]
dist(piano1,piano2) = [tex]\dfrac 1 {\sqrt 6}[/tex]
Dunque C deve distare [tex]\dfrac 1 {2\sqrt 6}[/tex] da entrambi i piani

Usando la formula della distanza del punto [tex]C = (1,2t,4t-1)[/tex] dai piani ottengo:

[tex]\dfrac {|1+2t+8t-2-3|} {\sqrt 6} = \dfrac 1 {2\sqrt 6}[/tex]
[tex]\dfrac {|1+2t+8t-2-4|} {\sqrt 6} = \dfrac 1 {2\sqrt 6}[/tex]

che hanno in comune la soluzione [tex]t=\dfrac 9 {20}[/tex]
Quindi il centro è [tex]C=(1,\dfrac 9 {10}, \dfrac 4 5 )[/tex]
Il raggio è naturalmente [tex]r = \dfrac 1 {2\sqrt 6}[/tex], lo stesso raggio della tua soluzione.
L'equazione della sfera è [tex](x-1)^2+(y-\dfrac{9}{10})^2+(z-\dfrac{4}{5})^2 = \dfrac 1 {24}[/tex].

Infine ho un dubbio...
Per il punto 6... una sfera può essere tangente ad un cono solo come hai fatto nella tua soluzione? Perché se fosse messa in altro modo, per esempio esternamente, non saprei come fare. Cosa significa effettivamente tangente in R3? Non è più limitato al concetto di intersezione in un solo punto come in R2?

[GIMUSI]

...che hanno in comune la soluzione [tex]t=\dfrac 9 {20}[/tex]
Quindi il centro è [tex]C=(1,\dfrac 9 {10}, \dfrac 4 5 )[/tex]
Il raggio è naturalmente [tex]r = \dfrac 1 {2\sqrt 6}[/tex], lo stesso raggio della tua soluzione.
L'equazione della sfera è [tex](x-1)^2+(y-\dfrac{9}{10})^2+(z-\dfrac{4}{5})^2 = \dfrac 1 {24}[/tex].

hai ragione...in uno degli ultimi passaggi ho sbagliato un segno...corretto quello, si ottiene il valore t=9/20

Infine ho un dubbio...
Per il punto 6... una sfera può essere tangente ad un cono solo come hai fatto nella tua soluzione? Perché se fosse messa in altro modo, per esempio esternamente, non saprei come fare. Cosa significa effettivamente tangente in R3? Non è più limitato al concetto di intersezione in un solo punto come in R2?

ho interpretato la tangenza cono sfera nel senso che tutte le generatrici del cono sono tangenti alla sfera...in tal modo fissata la sfera ed il vertice il cono tangente è unico...

se la tangenza fosse esterna credo che si avrebbero infiniti coni con asse ortogonale alla congiungente vertice del cono-centro della sfera...si potrebbe provare a risolvere anche questo caso

[Massimo Gobbino]

Infine ho un dubbio...
Per il punto 6... una sfera può essere tangente ad un cono solo come hai fatto nella tua soluzione? Perché se fosse messa in altro modo, per esempio esternamente, non saprei come fare. Cosa significa effettivamente tangente in R3? Non è più limitato al concetto di intersezione in un solo punto come in R2?

Hai perfettamente ragione, grazie della segnalazione. Sono stato impreciso io nel formulare l'esercizio . Quello che intendevo era la tangenza a tutte le generatrici, con il cono che avvolge la sfera come se fosse la pallina di gelato, condizione che rende unico il cono.

[eclipse-sk]

Ciao! Gimusi ma che procedimento hai usato per ricavare il cono dell'esercizio 6.. sono ore che ci sto sbattendo la testa..

[Massimo Gobbino]

Suggerimento: il primo passaggio potrebbe essere trovare l'angolo di apertura del cono (o meglio il suo coseno), cosa che si può fare ragionando in una sezione piana.

[GIMUSI]

Ciao! Gimusi ma che procedimento hai usato per ricavare il cono dell'esercizio 6.. sono ore che ci sto sbattendo la testa..

dai un'occhiata al thread "Geometria nello spazio 1" http://forum.dma.unipi.it/Studenti/view ... =33&t=1186 dovresti trovarci molte indicazioni utili