Applicazioni lineari 2/3

[Balengs]

Volevo segnalare due possibili refusi :
[*] il primo nell'allegato "140527 - applicazioni lineari 3.pdf" --> nel 1° metodo "a occhio" nel sistema c'è scritto v1+v2 e v1-v2 mentre in realtà si tratta di v1+v3 e v1-v3 e questo è riportato anche poco più sotto
[*] il secondo nell'allegato delle soluzioni al punto 4 della 1° colonna --> la risposta dovrebbe essere che l'applicazione esiste ma è non univocamente determinata mentre c'è scritto NO (a meno che NO non voglia dire proprio quello, in tal caso l'errore sta nel punto 3 della 1° colonna )

[GIMUSI]

Volevo segnalare due possibili refusi :
[*] il primo nell'allegato "140527 - applicazioni lineari 3.pdf" --> nel 1° metodo "a occhio" nel sistema c'è scritto v1+v2 e v1-v2 mentre in realtà si tratta di v1+v3 e v1-v3 e questo è riportato anche poco più sotto

hai ragione

[*] il secondo nell'allegato delle soluzioni al punto 4 della 1° colonna --> la risposta dovrebbe essere che l'applicazione esiste ma è non univocamente determinata mentre c'è scritto NO (a meno che NO non voglia dire proprio quello, in tal caso l'errore sta nel punto 3 della 1° colonna )

confermo il NO...nel senso che non esiste

infatti se (1,1) va in (1,2,3) allora

(2,2)=2*(1,1) dovrebbe andare per linearità in (2,4,6)

[Balengs]

hai ragione, grazie per la puntualizzazione

[Un'autodidatta]

Scusate la domanda,
All'esercizio 8 di Applicazioni Lineari 2 le basi date sono le canoniche, anche se i loro vettori non sono "ordinati" come si fa di solito.
Io ho scritto semplicemente la matrice associata ad F rispetto alle basi canoniche sia per dominio che per codominio.
Mi è venuta così:
1 1 1
2 0 -1
3 2 1
In fin dei conti non è uguale a quella delle soluzioni proposte da Gimusi, così vorrei sapere un paio di cose se possibile.
Intanto vorrei sapere se sto sbagliando qualcosa.
Inoltre, pensando al fatto che fissata una base del dominio l'applicazione lineare è unica, qual'è l'effetto delle permutazioni dei vettori della base sulla matrice associata ad F? Non so se mi sto spiegando. Mi pare di vedere che ad una data applicazione lineare, permutando i vettori della base, posso attribuire ad F più matrici... o sbaglio?

[Massimo Gobbino]

All'esercizio 8 di Applicazioni Lineari 2 le basi date sono le canoniche, anche se i loro vettori non sono "ordinati" come si fa di solito.

E quindi *non* sono le basi canoniche. La base canonica è solo quella con i vettori "canonici" ordinati nel modo giusto.

Io ho scritto semplicemente la matrice associata ad F rispetto alle basi canoniche sia per dominio che per codominio.
Mi è venuta così:
1 1 1
2 0 -1
3 2 1

Questa è la matrice che rappresenta l'applicazione usando in partenza ed arrivo la base canonica.

In fin dei conti non è uguale a quella delle soluzioni proposte da Gimusi

Ed infatti quella di Gimusi è la matrice corretta usando le due basi indicate, come richiesto.

Inoltre, pensando al fatto che fissata una base del dominio l'applicazione lineare è unica

Questa frase non è corretta, e non ha neanche molto senso. Forse volevi dire "fissate una base dello spazio di partenza ed una base dello spazio di arrivo, la *matrice* che rappresenta una data applicazione lineare è unica".

qual'è l'effetto delle permutazioni dei vettori della base sulla matrice associata ad F?

Permutare la base in partenza corrisponde a permutare le colonne della matrice. Permutare la base in arrivo corrisponde a permutare le righe. Se pensi alla costruzione della matrice con il metodo "della battaglia navale" la cosa dovrebbe risultare ovvia.

Mi pare di vedere che ad una data applicazione lineare, permutando i vettori della base, posso attribuire ad F più matrici... o sbaglio?

Certo che non sbagli. Cambiando base (e anche cambiare solo l'ordinamento dei vettori della base induce un cambiamento della base) la matrice in generale cambia.

[Un'autodidatta]

Grazie professore, ora è più chiaro, mi stavo perdendo in un bichier d'acqua.
Vedo che i post relativi a questa sezione sono molto vecchi, non mi aspettavo una risposta ad essere sincero.
Quindi la ringrazio doppiamente.
Buona giornata.