Applicazione della formula di Gauss-Green

[Giacomo Falcone]

Ciao a tutti! Nello svolgere i vecchi testi d'esame ho riscontrato qualche difficoltà quando si trattava di calcolare l'integrale di una funzione su un dominio racchiuso da una curva data in forma parametrica! Per capirci meglio riporto un esercizio:

Sia D il dominio di [tex]R^2[/tex] racchiuso dall'asse delle x, dalla retta x=2 e dalla curva [tex]gamma[/tex] data da (x(t), y(t))=[tex](t+t^3, t+t^2)[/tex] con t compreso fra 0 e 1. Calcolare l'integrale su D di x dxdy

Vorrei più che altro chiarimenti su come trovare il campo vettoriale E che mi permette di trasformare l'integrale sul dominio D in un integrale lungo la curva [tex]gamma[/tex]; ad esempio nell'esercizio citato dovrei considerare divE=x e f=1 oppure f=x e divE=1 ?? E come arrivo a scrivere l'integrale della forma differenziale lungo la curva [tex]gamma[/tex] ??

Grazie a tutti in anticipo
P.s. Non so ancora scrivere bene con il LaTex quindi mi scuso in anticipo se non sono riuscito ad essere chiarissimo!

[ghisi]

Sia D il dominio di [tex]R^2[/tex] racchiuso dall'asse delle x, dalla retta x=2 e dalla curva [tex]\gamma[/tex] data da (x(t), y(t))=[tex](t+t^3, t+t^2)[/tex] con t compreso fra 0 e 1. Calcolare l'integrale su D di x dxdy

Vorrei più che altro chiarimenti su come trovare il campo vettoriale E che mi permette di trasformare l'integrale sul dominio D in un integrale lungo la curva [tex]gamma[/tex]; ad esempio nell'esercizio citato dovrei considerare divE=x e f=1 oppure f=x e divE=1 ?? E come arrivo a scrivere l'integrale della forma differenziale lungo la curva [tex]\gamma[/tex] ??

Se vuoi applicare Gauss-Green ti serve un campo vettoriale E (in questo caso fatto da due funzioni, quindi [tex]F=(F_1,F_2)[/tex]) la cui divergenza sia [tex]x[/tex].
Ovviamente puoi fare varie scelte, le piu' semplici sono prendere una componente zero. Ad esempio se [tex]F_1 = 0[/tex] vuol dire che [tex]F_{2,y} = x[/tex] quindi [tex]F_2 = xy[/tex]. Poi Gauss-Green ti dice che

[tex]\int_D div E = \int_{\delta^+D} (E,\nu) ds[/tex]

D'altra parte se il bordo è una curva [tex]\gamma[/tex] orientata positivamente allora le componenti della normale (non normalizzate) sono [tex](y^\prime,-x^\prime)[/tex].
Se vai a sostituire il tutto ottieni la formula classica

[tex]\int_{\delta^+D} F_1 dy - F_2 dx[/tex]

Occhio che nel tuo caso il bordo di D è fatto da vari pezzi che devi orientare nel modo giusto!

[Massimo Gobbino]

E io, già che ci sono, sposto nella sezione giusta ...

[Giacomo Falcone]

Grazie mille per la spiegazione!

[Filippo.ingrasciotta]

Sfrutto la discussione già aperta per una spiegazione semmai più dettagliata sul come procedere, perché ho dei grossi dubbi.

Dato il dominio [tex]\Omega=\{(t^2 ,t^3 +t): t \in [0,1]\}\cup\{y=0\}\cup\{x=1\}[/tex]

Devo calcolare l'area. So che devo usare Gauss-Green ma non ho idea di dove mettere mano perché ho il dominio ma non ho la funzione

[ghisi]

Sfrutto la discussione già aperta per una spiegazione semmai più dettagliata sul come procedere, perché ho dei grossi dubbi.

Dato il dominio [tex]\Omega=\{(t^2 ,t^3 +t): t \in [0,1]\}\cup\{y=0\}\cup\{x=1\}[/tex]

Devo calcolare l'area. So che devo usare Gauss-Green ma non ho idea di dove mettere mano perché ho il dominio ma non ho la funzione

Innanzitutto una precisazione: quello che tu hai indicato con [tex]\Omega[/tex] in realtà è il bordo di [tex]\Omega[/tex] cioè [tex]\partial \Omega[/tex].
L'area di un dominio [tex]\Omega[/tex] è l'integrale su [tex]\Omega[/tex] della funzione costante 1.

[Filippo.ingrasciotta]

Sfrutto la discussione già aperta per una spiegazione semmai più dettagliata sul come procedere, perché ho dei grossi dubbi.

Dato il dominio [tex]\Omega=\{(t^2 ,t^3 +t): t \in [0,1]\}\cup\{y=0\}\cup\{x=1\}[/tex]

Devo calcolare l'area. So che devo usare Gauss-Green ma non ho idea di dove mettere mano perché ho il dominio ma non ho la funzione

Innanzitutto una precisazione: quello che tu hai indicato con [tex]\Omega[/tex] in realtà è il bordo di [tex]\Omega[/tex] cioè [tex]\partial \Omega[/tex].
L'area di un dominio [tex]\Omega[/tex] è l'integrale su [tex]\Omega[/tex] della funzione costante 1.

Ok quindi se f=1 l'integrale con gauss green diventa [tex]\int E* v ds[/tex] solo che anche qui non ho idea di come fare.... V sarebbe il versore tangente ed E un campo di vettori, ma trovo v ed E? Non riesco nemmeno a vedere come potrei riuscire a scrivere il bordo in una sola equazione così poi da poterlo usare meglio nell'integrale.

[ghisi]

Ok quindi se f=1 l'integrale con gauss green diventa [tex]\int E* v ds[/tex] solo che anche qui non ho idea di come fare.... V sarebbe il versore tangente ed E un campo di vettori, ma trovo v ed E? Non riesco nemmeno a vedere come potrei riuscire a scrivere il bordo in una sola equazione così poi da poterlo usare meglio nell'integrale.

Ma perchè non usi le formule per l'area? O le formule con Gauss-Green utilizzando le forme differenziali (che ci sono in uno dei post precedenti)?

In ogni caso E è una qualsiasi funzione vettoriale la cui divergenza è 1. NON e' possibile scrivere il bordo in un'unico pezzo: devi spezzare l'integrale in piu' parti e calcolarlo sui singoli pezzi di bordo.

[Filippo.ingrasciotta]

Ok quindi se f=1 l'integrale con gauss green diventa [tex]\int E* v ds[/tex] solo che anche qui non ho idea di come fare.... V sarebbe il versore tangente ed E un campo di vettori, ma trovo v ed E? Non riesco nemmeno a vedere come potrei riuscire a scrivere il bordo in una sola equazione così poi da poterlo usare meglio nell'integrale.

Ma perchè non usi le formule per l'area? O le formule con Gauss-Green utilizzando le forme differenziali (che ci sono in uno dei post precedenti)?

In ogni caso E è una qualsiasi funzione vettoriale la cui divergenza è 1. NON e' possibile scrivere il bordo in un'unico pezzo: devi spezzare l'integrale in piu' parti e calcolarlo sui singoli pezzi di bordo.

Mi scuso per la mia testardaggine ma non ho ancora ben capito su come procedere....se non è chiedere troppo, potrebbe svolgere l'esercizio che ho postato inizialmente così che magari guardando i passaggi riesco a capire meglio dove sbaglio? La ringrazio anticipatamente

[ghisi]

Il bordo di [tex]\Omega[/tex] è formato dalla curva [tex]\gamma =(t^2 ,t^3 +t), \; 0\leq t \leq 1[/tex] (che è orientata negativamente) dalla curva [tex]\gamma_1 = (t,0), \; 0\leq t \leq 1[/tex] (che così parametrizzata è orientata positivamente) e dalla curva [tex]\gamma_2 = (1,t), \; 0\leq t \leq 2[/tex] (che così parametrizzata è orientata positivamente).

L'area di [tex]\Omega[/tex] si può scrivere quindi ad esempio come

[tex]-\int_{\partial^{+}\Omega }y \, dx = -\int_{\gamma_1} y \, dx -\int_{\gamma_2} y \, dx + \int_{\gamma} y \, dx[/tex]

[Filippo.ingrasciotta]

Il bordo di [tex]\Omega[/tex] è formato dalla curva [tex]\gamma =(t^2 ,t^3 +t), \; 0\leq t \leq 1[/tex] (che è orientata negativamente) dalla curva [tex]\gamma_1 = (t,0), \; 0\leq t \leq 1[/tex] (che così parametrizzata è orientata positivamente) e dalla curva [tex]\gamma_2 = (1,t), \; 0\leq t \leq 2[/tex] (che così parametrizzata è orientata positivamente).

L'area di [tex]\Omega[/tex] si può scrivere quindi ad esempio come

[tex]-\int_{\partial^{+}\Omega }y \, dx = -\int_{\gamma_1} y \, dx -\int_{\gamma_2} y \, dx + \int_{\gamma} y \, dx[/tex]

Grazie mille!

[Filippo.ingrasciotta]

Altro esercizio altro problema, sempre col solito gauss-green

Stavolta mi viene dato il bordo del dominio e la funzione, e vuole sapere l'integrale....

Cito il testo di un esercizio così che magari può essere utile da esempio.

Funzione [tex]\phi = y[/tex]

Bordo del dominio [tex]{(cost, sent) t \in [0, \pi]} \cup {y=0}[/tex]

A questo punto non so quale formula usare perché sempre e comunque mi manca un dato, ovvero E il campo di vettori

[ghisi]

Altro esercizio altro problema, sempre col solito gauss-green

Stavolta mi viene dato il bordo del dominio e la funzione, e vuole sapere l'integrale....

Cito il testo di un esercizio così che magari può essere utile da esempio.

Funzione [tex]\phi = y[/tex]

Bordo del dominio [tex]{(cost, sent) t \in [0, \pi]} \cup {y=0}[/tex]

A questo punto non so quale formula usare perché sempre e comunque mi manca un dato, ovvero E il campo di vettori

Il campo lo devi trovare tu: nel caso specifico basta un qualunque campo la cui divergenza faccia [tex]y[/tex]. Hai quindi moltissima libertà, quale scegliere dipende da varie cose (ad esempio da cosa risulterà più facile integrare). Puoi prendere ad esempio [tex](xy,0)[/tex], ma anche [tex](0, y^2/2)[/tex]....

[Filippo.ingrasciotta]

Altro esercizio altro problema, sempre col solito gauss-green

Stavolta mi viene dato il bordo del dominio e la funzione, e vuole sapere l'integrale....

Cito il testo di un esercizio così che magari può essere utile da esempio.

Funzione [tex]\phi = y[/tex]

Bordo del dominio [tex]{(cost, sent) t \in [0, \pi]} \cup {y=0}[/tex]

A questo punto non so quale formula usare perché sempre e comunque mi manca un dato, ovvero E il campo di vettori

Il campo lo devi trovare tu: nel caso specifico basta un qualunque campo la cui divergenza faccia [tex]y[/tex]. Hai quindi moltissima libertà, quale scegliere dipende da varie cose (ad esempio da cosa risulterà più facile integrare). Puoi prendere ad esempio [tex](xy,0)[/tex], ma anche [tex](0, y^2/2)[/tex]....

Continuo a non sapere andare avanti, mi sto bloccando davanti a una banalità credo, però non so come iniziare, potrebbe per piacere farmi vedere come si fa l'esercizio in modo che lo possa prendere a modello e capire per fare quelli dopo?

La ringrazio in anticipo..

[ghisi]

Continuo a non sapere andare avanti, mi sto bloccando davanti a una banalità credo, però non so come iniziare, potrebbe per piacere farmi vedere come si fa l'esercizio in modo che lo possa prendere a modello e capire per fare quelli dopo?

La ringrazio in anticipo..

Perchè non cominci a calcolare l'area del dominio (così ti rendi conto di come procedere)?
Consulta poi anche i post all'inizio di questa discussione (non e' che ci sia una grande differenza...)