Criterio del rapporto - aiutino

[mateusz]

Salve a tutti,

sto cercando di risolvere un limite di una successione, il quale mi sta creando non pochi problemi, spero che una qualche buon'anima mi possa indirizzare verso la direzione giusta...

Il limite e':

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^{n!} - (n!)^n[/tex] con [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]

Criterio del rapporto perche' abbiamo dei n! e mi sembra il metodo pi' adatto...io avrei pensato di fare cosi'...

[tex]\frac{a(n+1)}{an} = \frac{(n+1)^{(n+1)!} - [(n+1)!]^{n+1}}{n^n! - (n!)^n} = \frac{(n+1)^{(n+1)!} - [(n+1)!]^n(n+1)!}{n^{n!} - (n!)^n}[/tex]

Mi rimane...

[tex]\frac{(n+1)^{n!}(n+1)^n(n+1) - (n!)^n(n+1)^nn!(n+1)}{n^{n!} - (n!)^n}[/tex] Raccolgo... [tex]\frac{(n+1)(n+1)^n[(n+1)^{n!} - (n!)^nn!]}{n^{n!} - (n!)^n}[/tex]

E da qui in poi non so come procedere, non sono neppure sicuro dei passaggi svolti fino ad ora...

Ciao,

Mateusz.

[GIMUSI]

Salve a tutti,

sto cercando di risolvere un limite di una successione, il quale mi sta creando non pochi problemi, spero che una qualche buon'anima mi possa indirizzare verso la direzione giusta...

Il limite e':

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^{n!} - (n!)^n[/tex] con [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]

Criterio del rapporto perche' abbiamo dei n! e mi sembra il metodo pi' adatto...io avrei pensato di fare cosi'...

[tex]\frac{a(n+1)}{an} = \frac{(n+1)^{(n+1)!} - [(n+1)!]^{n+1}}{n^n! - (n!)^n} = \frac{(n+1)^{(n+1)!} - [(n+1)!]^n(n+1)!}{n^{n!} - (n!)^n}[/tex]

Mi rimane...

[tex]\frac{(n+1)^{n!}(n+1)^n(n+1) - (n!)^n(n+1)^nn!(n+1)}{n^{n!} - (n!)^n}[/tex] Raccolgo... [tex]\frac{(n+1)(n+1)^n[(n+1)^{n!} - (n!)^nn!]}{n^{n!} - (n!)^n}[/tex]

E da qui in poi non so come procedere, non sono neppure sicuro dei passaggi svolti fino ad ora...

Ciao,

Mateusz.

sei sicuro che si possa applicare il criterio del rapporto?

cosa ne pensi di raccogliere

[tex]\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^{n!} [1 - \frac{(n!)^n}{n^{n!}}][/tex]

e poi applicare il criterio della radice al termine sicuramente positivo

[tex]\frac{(n!)^n}{n^{n!}}[/tex]

ottenendo

[tex]\frac{n!}{n^{(n-1)!}}[/tex]

che dovrebbe tendere a zero per confronto con

[tex]\frac{n!}{n^{n}}[/tex]

[mateusz]

Grzie Gimusi per il suggerimento, ultimamente mi stai aiutando parecchio!

Sara' che ho un modo ancora troppo rigido di affrontare i limiti...ma come ti e' venuto in mente di raccogliere prima ed applicare il rapporto dopo? O si tratta solo di farne tanti ed acquisire dimestichezza?
Se non fosse stato per la tua risposta starei ancora cercando di applicare da subito il criterio del rapporto...

Quindi se ho capito bene posso riscrivere la successione in tutte le forme che voglio (senza alterarne l'andamento) ed applicare il metodo risolutivo migliore alla fine?

Mateusz.

[GIMUSI]

Grzie Gimusi per il suggerimento, ultimamente mi stai aiutando parecchio!

Sara' che ho un modo ancora troppo rigido di affrontare i limiti...ma come ti e' venuto in mente di raccogliere prima ed applicare il rapporto dopo? O si tratta solo di farne tanti ed acquisire dimestichezza?
Se non fosse stato per la tua risposta starei ancora cercando di applicare da subito il criterio del rapporto...

Quindi se ho capito bene posso riscrivere la successione in tutte le forme che voglio (senza alterarne l'andamento) ed applicare il metodo risolutivo migliore alla fine?

Mateusz.

figurati...ci si aiuta a vicenda...

non credo ci siano regole generali valide in assoluto...ma in genere quando c'è una somma o una differenza raccogliere è una tecnica che può dare dei risultati

di certo quando prendi una strada e vedi che non semplifica le cose o addirittura le complica conviene cercarne altre

nel caso in esame non è detto che la strada che ho individuato sia comunque la migliore magari ci sono modi ancora più semplici ed evidenti

attendiamo eventuali osservazioni a proposito da parte degli altri studenti del forum

intanto allego qui lo svolgimento completo che ho rifatto per esteso

[Massimo Gobbino]

ma come ti e' venuto in mente di raccogliere prima ed applicare il rapporto dopo?

Tutti i limiti notevoli "da tabellina", cioè quelli del tipo "esponenziale batte potenza", "fattoriale batte esponenziale", e così via, sono enunciati in termini di rapporti. Quindi, quando invece hai a che fare con differenze, diventa naturale raccogliere uno dei termini a caso riducendosi così ad un rapporto. Se ci pensi bene, è lo stesso procedimento che si fa quando si ha il limite di

[tex]n^2-10n[/tex]

Nel caso in esame, una strada breve dopo il raccoglimento è osservare che

[tex]n!\leq n^n[/tex]

da cui

[tex]0\leq\dfrac{(n!)^n}{n^{n!}}\leq\dfrac{n^{n^2}}{n^{n!}}=\dfrac{1}{n^{n!-n^2}}[/tex]

da cui si conclude banalmente con i carabinieri. Sono sicuro di averlo fatto parecchie volte a lezione/ricevimento, quindi in qualche annata è registrato. Forse c'è già anche qualche post che ne parla .

[mateusz]

Vi ringrazio ancora per i chiarimenti che mi sono di estremo aiuto!
Spero prima o poi di arrivare a dare qualche aiutino a qualcuno pure io...

Mateusz.