Integrali tripli

[Filippo.ingrasciotta]

Vi chiedo aiuto nello svolgimento di questi due integrali tripli poiché non potendo scriverli in coordinate cilindriche o sferiche non mi viene a mente come normalizzare tali insiemi rispetto a un asse.

[tex]\iiint 1 dxdydz[/tex] sul dominio D: [tex]2x^2 +3y^2 +5z^2 \leq 1[/tex]

[tex]\iiint x^2 dxdydz[/tex] sul dominio D: [tex]x^2 + y^2 + z^2 +xy+yz+zx \leq 18[/tex]

[ghisi]

Vi chiedo aiuto nello svolgimento di questi due integrali tripli poiché non potendo scriverli in coordinate cilindriche o sferiche non mi viene a mente come normalizzare tali insiemi rispetto a un asse.

[tex]\iiint 1 dxdydz[/tex] sul dominio D: [tex]2x^2 +3y^2 +5z^2 \leq 1[/tex]

In questo caso il dominio è un ellissoide quindi basta fare il cambio di variabili che lo riporta ad una sfera.

[tex]\iiint x^2 dxdydz[/tex] sul dominio D: [tex]x^2 + y^2 + z^2 +xy+yz+zx \leq 18[/tex]

Il dominio lo puoi scrivere come

[tex]\displaystyle \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + 2xy + x^2 + z^2 + 2xz + y^2 +z^2 +2yz)[/tex]

e da qui un semplice cambio di variabili lo riporta ad una sfera.

[Filippo.ingrasciotta]

Vi chiedo aiuto nello svolgimento di questi due integrali tripli poiché non potendo scriverli in coordinate cilindriche o sferiche non mi viene a mente come normalizzare tali insiemi rispetto a un asse.

[tex]\iiint 1 dxdydz[/tex] sul dominio D: [tex]2x^2 +3y^2 +5z^2 \leq 1[/tex]

In questo caso il dominio è un ellissoide quindi basta fare il cambio di variabili che lo riporta ad una sfera.

Il cambio di variabili l'ho fatto ma non mi torna con il risultato del libro....
Allora ho preso tre nuove variabili e imposto che

[tex]u=\sqrt2 x[/tex]
[tex]w= \sqrt3 y[/tex]
[tex]v= \sqrt5 z[/tex]

Così facendo mi viene lo jacobiano = [tex]\sqrt30[/tex]

E l'integrale diventa [tex]\iiint 1 dudvdw[/tex] su [tex]u^2 + w^2 + v^2 \leq 1[/tex]

Quindi passò in coordinate sferiche facendo diventare l'integrale :
[tex]\iiint \rho^2 cos\psi d\rho d\psi d\theta[/tex] con [tex]\rho [0,1] \theta [0, 2\pi] \psi [\frac{-\pi}{2} , \frac{\pi}{2}].[/tex]

E svolgendo i conti il risultato mi viene [tex]\frac{4\pi\sqrt30}{3}[/tex]

Dove sbaglio!? Mi sembra di aver svolto tutto correttamente

[GIMUSI]

E svolgendo i conti il risultato mi viene [tex]\frac{4\pi\sqrt30}{3}[/tex]

Dove sbaglio!? Mi sembra di aver svolto tutto correttamente

mi pare che il termine [tex]\sqrt30[/tex] vada al denominatore

quando calcoli lo jacobiano: [tex]du dw dv = \sqrt30 dx dy dz[/tex]

quindi [tex]dx dy dz = (1/\sqrt30) du dv dw[/tex]

[Filippo.ingrasciotta]

E svolgendo i conti il risultato mi viene [tex]\frac{4\pi\sqrt30}{3}[/tex]

Dove sbaglio!? Mi sembra di aver svolto tutto correttamente

mi pare che il termine [tex]\sqrt30[/tex] vada al denominatore

quando calcoli lo jacobiano: [tex]du dw dv = \sqrt30 dx dy dz[/tex]

quindi [tex]dx dy dz = (1/\sqrt30) du dv dw[/tex]

Dal libro "Schede di analisi matematica " Di Massimo Gobbino e Marina Ghisi a pag 147 ho trovato questa formula che appunto ho riutilizzato
[tex]\int f(x,y) dx dy = \int g(u,v) * J(u,v) du dv[/tex]

dove è stato fatto il cambio il cambio di variabile, e l'integrale di g(u,v)*J(u,v) integrato su l'insieme in cui variano u e v quando x e y variano nel dominio di partenza.

J(u,v) è il valore assoluto del determinante jacobiano. Quindi credo che [tex]dxdydz=\sqrt30dudvdw[/tex]

[GIMUSI]

Dal libro "Schede di analisi matematica " Di Massimo Gobbino e Marina Ghisi a pag 147 ho trovato questa formula che appunto ho riutilizzato
[tex]\int f(x,y) dx dy = \int g(u,v) * J(u,v) du dv[/tex]

dove è stato fatto il cambio il cambio di variabile, e l'integrale di g(u,v)*J(u,v) integrato su l'insieme in cui variano u e v quando x e y variano nel dominio di partenza.

J(u,v) è il valore assoluto del determinante jacobiano. Quindi credo che [tex]dxdydz=\sqrt30dudvdw[/tex]

a parte le formule generali con il cambiamento di variabili considerato l'elementino di volume

[tex]dV=dxdydz[/tex]

con

[tex]dx=du/\sqrt2[/tex]

[tex]dy=dw/\sqrt3[/tex]

[tex]dz=dv/\sqrt5[/tex]

diventa

[tex]dV=dudwdv/\sqrt30[/tex]

quindi credo proprio che il termine [tex]\sqrt30[/tex] vada al denominatore

tornando allo jacobiano la relazione da considerare dovrebbe essere la seguente

[tex]dxdydz=J(u,w,v)dudwdv[/tex]

dove

[tex]J(u,w,v)=
\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial v} \\
\frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial w} & \frac{\partial z}{\partial v}
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
\frac{1}{\sqrt2} & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt3} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{\sqrt5}
\end{vmatrix}
= \frac{1}{\sqrt30}[/tex]

[EDIT}
ho corretto un errore nella terza riga dello jacobiano
[tex]\frac{\partial y}{\partial w}[/tex] al posto di [tex]\frac{\partial z}{\partial w}[/tex]

[Filippo.ingrasciotta]

Bene ho trovato l'errore, avevo sbagliato lo Jacobiano, mi scuso con gimusi se magari sono stato troppo insistente, il risultato del libro adesso torna è bastato razionalizzare

[GIMUSI]

figurati...non sei stato per nulla insistente...è normale confrontarsi qui sul blog..ed è per tutti un'occasione per imparare e verificare le conoscenze