Sottospazi vettoriali 1

[GIMUSI]

allego per confronto la sintesi dei risultati del test n.19 "Sottospazi vettoriali 1" (ho cancellato le relazioni che non definiscono sottospazi, per gli altri ho indicato solo la dimensione)

ho un dubbio sulla relazione del punto 4: [tex]p(0)\cdot p(\pi)=0[/tex]

in tal caso direi che esistono due sottospazi con [tex]Dim=3[/tex] che verificano la relazione:

- per [tex]p(0)=0[/tex] i polinomi con base: [tex]x^3,x^2,x[/tex]

- per [tex]p(\pi)=0[/tex] i polinomi con base: [tex]x^3-\pi^3,x^2-\pi^2,x-\pi[/tex]

[e.rapuano]

Ma nel punto 4: "p(x) = p(-x)" non definisce un sottospazio di dimensione 3?

[GIMUSI]

Ma nel punto 4: "p(x) = p(-x)" non definisce un sottospazio di dimensione 3?

per soddisfare la relazione devono essere nulli i termini dispari [tex]x^3[/tex] e [tex]x[/tex]

allora una base è [tex](x^2,1)[/tex] e quindi [tex]dim=2[/tex]

[e.rapuano]

ah, si, si è vero! scusa! XD

[Massimo Gobbino]

ho un dubbio sulla relazione del punto 4: [tex]p(0)\cdot p(\pi)=0[/tex]

È la stessa cosa di quando nel piano è data la relazione xy=0, quindi ...

[GIMUSI]

ho un dubbio sulla relazione del punto 4: [tex]p(0)\cdot p(\pi)=0[/tex]

È la stessa cosa di quando nel piano è data la relazione xy=0, quindi ...

quindi esistono tre sottospazi

i due con [tex]Dim=3[/tex]:

- per [tex]p(0)=0[/tex] con base: [tex]x^3,x^2,x[/tex]

- per [tex]p(\pi)=0[/tex] con base: [tex]x^3-\pi^3,x^2-\pi^2,x-\pi[/tex]

e uno con [tex]Dim=2[/tex]:

- per [tex]p(0)=0[/tex] e [tex]p(\pi)=0[/tex] con base: [tex]x(x-\pi),x^2(x-\pi)[/tex]

[Massimo Gobbino]

Nonono. La relazione data definisce un sottoinsieme che non è un sottospazio (è chiuso rispetto al prodotto per scalare, ma non rispetto alla somma, come si verifica facilmente). Punto.

Poi è vero che il sottoinsieme è unione dei due sottospazi indicati, i quali a sua volta hanno come intersezione il terzo sottospazio indicato, ma questo non cambia la risposta alla domanda. E' come prendere nello spazio l'unione di due piani passanti per l'origine: entrambi sono sottospazi, la loro intersezione è un sottospazio, ma l'unione non è un sottospazio. Quindi se la relazione data definisce l'unione bisognerà farsene una ragione.

[GIMUSI]

chiaro...era proprio questo il dubbio che avevo...esistono tre sottospazi che (presi singolarmente) soddisfano la relazione...ma la relazione non definisce un sottospazio...proprio come gli assi x, y e lo 0 nel piano

[matt_93]

esercizio 2:
x^2 + y^2 = 0, mi torna di dimensione 2 ed una possibile base è { (1,1,0), (0,0,1) } indicando z come parametro libero, e trasformando la cartesiana in un equazione parametrica...te come hai fatto a farti venire dimensione 1?
esercizio 3:
come mai x^2 + y^2 + z^2 = 0 ha dimensione 0?

grazie per l'eventuale risposta

[GIMUSI]

esercizio 2:
x^2 + y^2 = 0, mi torna di dimensione 2 ed una possibile base è { (1,1,0), (0,0,1) } indicando z come parametro libero, e trasformando la cartesiana in un equazione parametrica...te come hai fatto a farti venire dimensione 1?
esercizio 3:
come mai x^2 + y^2 + z^2 = 0 ha dimensione 0?

grazie per l'eventuale risposta

ho ragionato nel modo seguente:

[tex]x^2 + y^2 = 0[/tex] equivale alla condizione [tex]x=y=0[/tex] quindi una base è composta dall'unico vettore [tex](0,0,1)[/tex] e dunque il sottospazio ha dimensione 1

per gli stessi motivi [tex]x^2 + y^2 + z^2 = 0[/tex] in [tex]R^3[/tex] ha dimensione 0 visto che la relazione è soddisfatta solo da [tex](0,0,0)[/tex]

PS ma perché non utilizzi il latex...basta selezionare le formule così come le hai scritte e pigiare il tasto "tex" della barra che compare nell'editor...rende tutto molto più leggibile...per i simboli più complessi puoi dare un'occhiata anche qui http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Mathematics sembra lungo ma quando ci prendi un po' la mano ci vuole un attimo

[matt_93]

Ok, non lo sapevo....
grazie

[eclipse-sk]

ciao GIMUSI mi stavo chiedendo quale modo di procedere sia più corretto: il primo è, tramite la definizione di sottospazio, verificare le 2 condizioni: [tex]( x_1 + x_2 ) \in W[/tex] e [tex]ax \in W[/tex] ... il secondo è trasformare le equazioni cartesiane in parametriche e verificare se lo spazio che generano passa per l'origine.. che mi consigli? ho iniziato con il primo metodo solo che ho riscontrato dei problemi: per esempio all'esercizio: [tex]x^2 + y^2 = 1 \to ( x_1 + x_2 )^2 + ( y_1 + y_2 )^2 = 1[/tex] mi porta a verificare che [tex]2(x_1x_2 + y_1y_2) \geq -1[/tex].. e qua non so come procedere.. tu come hai risolto?

[eclipse-sk]

ps: Nell'esercizio [tex]x^2 = y^2[/tex] a me viene che la condizione genera un sottospazio di dimensione 2, ho proceduto così: [tex]x^2 = y^2 \implies x = y \implies z = t, y = s, x = s[/tex] cioè s(1,1, 0) + t(0, 0, 1) che genera un piano passante per l'origine.. dove sbaglio?

[GIMUSI]

ciao GIMUSI mi stavo chiedendo quale modo di procedere sia più corretto: il primo è, tramite la definizione di sottospazio, verificare le 2 condizioni: [tex]( x_1 + x_2 ) \in W[/tex] e [tex]ax \in W[/tex] ... il secondo è trasformare le equazioni cartesiane in parametriche e verificare se lo spazio che generano passa per l'origine.. che mi consigli?

io ho sempre operato secondo la definizione…

l’altro metodo non l’ho mai utilizzato e non ho capito bene come andrebbe applicato (il passaggio per l’origine è condizione necessaria ma non sufficiente a definire un sottospazio)

ho iniziato con il primo metodo solo che ho riscontrato dei problemi: per esempio all'esercizio: [tex]x^2 + y^2 = 1 \to ( x_1 + x_2 )^2 + ( y_1 + y_2 )^2 = 1[/tex] mi porta a verificare che [tex]2(x_1x_2 + y_1y_2) \geq -1[/tex].. e qua non so come procedere.. tu come hai risolto?

vediamo l’esempio [tex]x^2+y^2=1[/tex] (punti della circonferenza unitaria con centro nell’origine)

già il fatto che non contenga (0,0) consente di affermare che non si tratta di un sottospazio

volendo procedere secondo la definizione siano

[tex]v_1=(x_1,y_1)[/tex] [tex]\in W[/tex]allora [tex]x_1^2+y_1^2=1[/tex]

[tex]v_2=(x_2,y_2)[/tex] [tex]\in W[/tex] allora [tex]x_2^2+y_2^2=1[/tex]

consideriamo la somma

[tex]v_1+v_2=(x_1+x_2,y_1+y_2)[/tex]

che non appartiene a W infatti

[tex](x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2[/tex][tex]= x_1^2+y_1^2 + x_2^2+y_2^2 +2x_1x_2+2y_1y_2 =[/tex][tex]2+2x_1x_2+2y_1y_2 \neq 1[/tex]

(non capisco da dove ti venga fuori la diseguaglianza)

[GIMUSI]

ps: Nell'esercizio [tex]x^2 = y^2[/tex] a me viene che la condizione genera un sottospazio di dimensione 2, ho proceduto così: [tex]x^2 = y^2 \implies x = y \implies z = t, y = s, x = s[/tex] cioè s(1,1, 0) + t(0, 0, 1) che genera un piano passante per l'origine.. dove sbaglio?

[tex]x^2=y^2[/tex]

in questo caso la verifica su (0,0) non consente di escludere che si tratti di un sottospazio

procediamo secondo la definizione, siano

[tex]v_1=(x_1,y_1)[/tex] [tex]\in W[/tex] allora [tex]x_1^2=y_1^2[/tex]

[tex]v_2=(x_2,y_2)[/tex] [tex]\in W[/tex] allora [tex]x_2^2=y_2^2[/tex]

consideriamo

[tex]v_1+v_2=(x_1+x_2,y_1+y_2)[/tex]

che non appartiene a W infatti

[tex](x_1+x_2)^2=(y_1+y_2)^2[/tex]

[tex]x_1x_2=y_1y_2[/tex]

ma questa relazione non è vera in generale, basta prendere ad esempio

[tex]v_1=(1,-1) \in W[/tex]

[tex]v_2=(2,2) \in W[/tex]

[tex]2 \neq -2[/tex]

(la relazione di partenza infatti rappresenta le bisettrici [tex]y=x[/tex] e [tex]y=-x[/tex])