Prodotti scalari 1

[nomeutente]

Soluzioni?

[Massimo Gobbino]

Soluzioni?

Ehm, così però fa un po' babbo natale ... Perché non inizi a postare le tue, senza aspettare che altri facciano il lavoro sporco?

[nomeutente]

Come cambio la base nel punto c del primo esercizio?

[GIMUSI]

Come cambio la base nel punto c del primo esercizio?

col metodo diretto si costruisce la matrice nella nuova base secondo la definizione

se la nuova base è: [tex](v_1,v_2)[/tex]

[tex]B=\begin{pmatrix}
<v_1,v_1> & <v_1,v_2>\\
<v_2,v_1> & <v_2,v_2>
\end{pmatrix}[/tex]

col metodo matriciale si determina la matrice di cambio base (dalla nuova alla vecchia):

[tex]M=\begin{pmatrix}
v_1 |& v_2
\end{pmatrix}[/tex]

allora se nella vecchia base il prodotto scalare era:

[tex]x^tAy[/tex]

[tex]y=Mz[/tex]

[tex]x=Mw[/tex]

nella nuova base risulta:

[tex]x^tAy=(Mz)^tA(Mw)=(z^tM^t)A(Mw)=z^t(M^tAM)w=z^tBw[/tex]

quindi nella nuova base la matrice associata è:

[tex]B= M^tAM[/tex]

che coincide con la precedente

[nomeutente]

Grazie

[nomeutente]

Nei punti successivi a che serve la matrice del prodotto scalare?
Nell'ultimo, se definito positivo, è chiaro

[GIMUSI]

Nei punti successivi a che serve la matrice del prodotto scalare?
Nell'ultimo, se definito positivo, è chiaro

nel punto (d) il sottospazio ortogonale si trova imponendo:

[tex]x^tAv=0[/tex]

con:

[tex]x[/tex] vettore incognito [tex](x,y)[/tex]

[tex]v[/tex] vettore assegnato [tex](-1,1)[/tex]

[tex]A[/tex] matrice associata al prodotto scalare nella base canonica

nel punto (e) si procede in modo analogo prendendo un qualsiasi

[tex]v=t(-2,1)[/tex]

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento del test n.44 “Prodotti scalari 1”

[EDIT]
matt_93 ha segnalato un errore nell'esercizio 1.(f): la base ortonormale è {[tex](1,0), (0,1/\sqrt2)[/tex]}

[matt_93]

esercizio 1, f: calcolare una base ortonormale di [tex]R^{2}[/tex]
non mi torna il calcolo [tex]<v1,v2>_B[/tex] e [tex]<v1,v1>_B[/tex] perché mi viene rispettivamente 0 e 1 (anche la riprova è sbagliata!)
questo perché:
[tex]\begin{pmatrix} 1 & 0\end{pmatrix}[/tex] [tex]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}[/tex] [tex]\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}=0[/tex]

La base ortonormale cercata è proprio {(1,0), (0,1)}

[GIMUSI]

esercizio 1, f: calcolare una base ortonormale di [tex]R^{2}[/tex]
non mi torna il calcolo [tex]<v1,v2>_B[/tex] e [tex]<v1,v1>_B[/tex] perché mi viene rispettivamente 0 e 1 (anche la riprova è sbagliata!)
questo perché:
[tex]\begin{pmatrix} 1 & 0\end{pmatrix}[/tex] [tex]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix}[/tex] [tex]\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}=0[/tex]

hai ragione non so davvero cosa mi fossi fumato...ho fatto dei prodotti vettore matrice completamente errati

...La base ortonormale cercata è proprio {(1,0), (0,1)}

la base giusta dovrebbe essere {[tex](1,0), (0,1/\sqrt2)[/tex]}

[matt_93]

la base giusta dovrebbe essere {[tex](1,0), (0,1/\sqrt2)[/tex]}

si, giusto, ho fatto le cose affrettate! se ci sono altri errori te li segnalo, sempre che non siano i miei

[Ronnie_Coleman]

Non riesco a capire il punto d) qualcuno potrebbe darmi una mano?

[GIMUSI]

Non riesco a capire il punto d) qualcuno potrebbe darmi una mano?

mi pare che qui nel thread l'argomento sia già trattato

[Angelica27]

Perché è (0, 1/ radice di 2)?

[GIMUSI]

Perché è (0, 1/ radice di 2)?

[tex]v_2[/tex] va normalizzato rispetto a [tex]B[/tex] e risulta

[tex]<v_2,v_2>_B=2[/tex]