Forme quadratiche 1

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento del test n.42 “Forme quadratiche 1”

[Massimo Gobbino]

Spero che vedere metodi diversi di risoluzione permetta di confrontarne l'efficienza, oltre che di avere una conferma della correttezza dei risultati. Poi prima o poi parleremo di come far funzionare il buon Sylvester anche in alcuni dei casi in cui si incontrano determinanti nulli strada facendo.

[GIMUSI]

Spero che vedere metodi diversi di risoluzione permetta di confrontarne l'efficienza, oltre che di avere una conferma della correttezza dei risultati. Poi prima o poi parleremo di come far funzionare il buon Sylvester anche in alcuni dei casi in cui si incontrano determinanti nulli strada facendo.

il calcolo degli autovalori (tranne i casi banali) mi pare il meno efficiente...il completamento dei quadrati funziona sempre anche se richiede un po' di calcoli e opportuna verifica finale...sylvester quando funziona mi pare il più rapido...cartesio non è male anche se richiede il calcolo del polinomio caratteristico (per effettuare il quale però non ci si deve inventare nulla)...la mia personale classifica di efficienza per determinare la segnatura su forme quadratiche mediamente complicate è:
1 - sylvester
2 - cartesio e completamento quadrati
3 - calcolo autovalori

quindi l'utilizzo di sylvester si può estendere anche ad altri casi?

[Massimo Gobbino]

quindi l'utilizzo di sylvester si può estendere anche ad altri casi?

Certamente, funziona praticamente sempre, ma bisogna padroneggiare bene la segnatura, a livello di scheda di esercizi 46. Non ne ho mai parlato perché, se non capito bene, è modo di procedere "rischioso".

Ad esempio, nel 2*2 è quasi ovvio che se trovo determinanti 0- (cioè il determinante 1*1 scelto viene 0 e il 2*2 viene -) posso dedurre la segnatura. Allo stesso modo posso fare se trovo +0 oppure -0.

Nel 3*3 posso cavarmela di fronte ad un 0-+ oppure 0+-, ma bisogna pensarci un attimo.

Certo poi non ci sono limiti alla creatività: ad esempio uno può chiedersi cosa succede nel 6*6 di fronte ad un ++0+++ oppure di fronte ad un +-0+-0 . Qualcuno saprebbe dedurre la segnatura?

[GIMUSI]

Certamente, funziona praticamente sempre, ma bisogna padroneggiare bene la segnatura, a livello di scheda di esercizi 46.

ma la scheda 46 è sui prodotti scalari

[Massimo Gobbino]

ma la scheda 46 è sui prodotti scalari

Beh, prodotti scalari e forme quadratiche sono davvero due facce della stessa medaglia.

[alex994]

mi scusi professore mi stava sorgendo un dubbio, ma con sylvester non è possibile determinare quando una forma quadratica è negativa dato che quando guardo i segno dei determinanti devo inserire un + in testa. mi può dire se è così, oppure se sto soltanto dicendo cavolate.

[GIMUSI]

mi scusi professore mi stava sorgendo un dubbio, ma con sylvester non è possibile determinare quando una forma quadratica è negativa dato che quando guardo i segno dei determinanti devo inserire un + in testa. mi può dire se è così, oppure se sto soltanto dicendo cavolate.

la seconda che hai detto...

quello che conta sono le variazioni...

ad esempio per una 3x3 se hai: [tex]+ - +-[/tex] = 3 Variazioni = definita negativa

[alex994]

ok grazie

[matt_93]

domanda teorica (riferita alla lezione 52) :
che cosa ha a che fare il segno degli autovalori con la segnatura di una forma quadratica?
Ho capito che la matrice associata a una qualsiasi forma quadratica è simmetrica e, per il teorema spettrale, si diagonalizza mediante una matrice ortogonale.
Quello che non ho capito è il nesso che lega il segno degli autovalori...

[GIMUSI]

domanda teorica (riferita alla lezione 52) :
che cosa ha a che fare il segno degli autovalori con la segnatura di una forma quadratica?
Ho capito che la matrice associata a una qualsiasi forma quadratica è simmetrica e, per il teorema spettrale, si diagonalizza mediante una matrice ortogonale.
Quello che non ho capito è il nesso che lega il segno degli autovalori...

consideriamo al forma quadratica con matrice associata non diagonale:

[tex]q(v)=v^tBv[/tex]

essendo [tex]B[/tex] simmetrica si diagonalizza mediante matrice ortogonale M, pertanto:

[tex]q(v)=v^tMDM^tv=(M^tv)D(M^tv)=w^tDw=q(w)[/tex]

quindi la forma quadratica di partenza è equivalente ad un'altra forma quadratica che ha matrice associata diagonale

allora la segnatura di q(v) è la stessa di:

[tex]q(w)=\lambda_1w_1^2+\lambda_2w_2^2+...+\lambda_nw_n^2[/tex]

[GIMUSI]

quindi l'utilizzo di sylvester si può estendere anche ad altri casi?

Certamente, funziona praticamente sempre, ma bisogna padroneggiare bene la segnatura, a livello di scheda di esercizi 46. Non ne ho mai parlato perché, se non capito bene, è modo di procedere "rischioso".

la scheda 46 l'ho fatta (o almeno ci ho provato) ma non sono sicuro di averne compreso appieno il significato applicativo...

Ad esempio, nel 2*2 è quasi ovvio che se trovo determinanti 0- (cioè il determinante 1*1 scelto viene 0 e il 2*2 viene -) posso dedurre la segnatura. Allo stesso modo posso fare se trovo +0 oppure -0.

allora dire che:
- nel caso [tex]0 \;-[/tex] , i due autovalori hanno segno discorde, quindi la segnatura è: [tex]n_+=1 \;\; n_-=1 \;\; n_0=0[/tex]

- nel caso [tex]+ \;0[/tex] , un autovalorè è nullo e l'altro positivo, quindi la segnatura è: [tex]n_+=1 \;\; n_-=0 \;\; n_0=1[/tex]

- nel caso [tex]- \;0[/tex] , un autovalorè è nullo e l'altro negativo, quindi la segnatura è: [tex]n_+=0 \;\; n_-=1 \;\; n_0=1[/tex]

Nel 3*3 posso cavarmela di fronte ad un 0-+ oppure 0+-, ma bisogna pensarci un attimo.

- nel caso [tex]0 \;- \;+[/tex] , non ci sono autovalori nulli, due autovalori hanno segno discorde, quindi la segnatura è: [tex]n_+=1 \;\; n_-=2 \;\; n_0=0[/tex]

- nel caso [tex]0 \;+ \;-[/tex] , non ci sono autovalori nulli, due autovalori hanno segno concorde, quindi la segnatura è: [tex]n_+=2 \;\; n_-=1 \;\; n_0=0[/tex] ma potrebbe anche essere: [tex]n_+=0 \;\; n_-=3 \;\; n_0=0[/tex]; in tal caso si deve guardare la traccia del minore[tex]2*2[/tex]? ma sbaglio o questo caso è possibile solo per matrici a coefficienti complessi?

Certo poi non ci sono limiti alla creatività: ad esempio uno può chiedersi cosa succede nel 6*6 di fronte ad un ++0+++ oppure di fronte ad un +-0+-0 . Qualcuno saprebbe dedurre la segnatura?

a queste per ora non ci penso nemmeno

[Massimo Gobbino]

Tutto sta ad usare bene la doppia caratterizzazione della segnatura

• come numero di autovalori positivi, negativi, nulli della matrice associata alla forma rispetto ad una qualunque base,
• come massima dimensione di un sottospazio su cui la forma è definita positiva, massima dimensione di un sottospazio su cui la forma è definita negativa, dimensione dello spazio dei vettori ortogonali a tutto (e non massima dimensione di un sottospazio su cui la forma è nulla).

A questo punto io nei casi 3*3 ragionerei in questo modo:

• 0-+: determinante finale positivo, quindi gli autovalori sono +++ o +--; se fossero +++ la forma sarebbe definita positiva, quindi non potrebbe esistere un sottospazio di dimensione 1 sul quale è nulla (cosa che invece accade per colpa dello 0 iniziale, il quale equivale a dire che la forma è nulla sul sottospazio generato dal primo vettore della base).
• 0+-: determinante finale negativo, quindi gli autovalori sono ++- o ---; ma se fossero --- sarebbe definita negativa, quindi ...

Con ragionamenti di questo tipo si smontano praticamente tutti gli esempi. Se ho una 20*20 che parte con 0--+, guardando solo questo inizio posso dedurre che sul sottospazio generato dai primi 4 vettori della base la segnatura è ++-- (perché?), quindi c'è un sottospazio di dimensione 2 su cui è definita positiva ed uno di dimensione 2 su cui è definita negativa. Questo mi condiziona fino alla fine, perché mi assicura che almeno 2 + e 2- ci saranno. Ora guardo un altro minore successivo con det diverso da 0 e cerco di ampliare le conoscenze ...

[GIMUSI]

...
Certo poi non ci sono limiti alla creatività: ad esempio uno può chiedersi cosa succede nel 6*6 di fronte ad un ++0+++ oppure di fronte ad un +-0+-0 . Qualcuno saprebbe dedurre la segnatura?

allora se ho capito bene:

nel caso ++0+++ ci sono quattro possibilità: (++++++,++++--,++----,------)

- la prima e la quarta sono da scartare perché altrimenti non esisterebbe il minore ++0 quindi restano due possibilità: (++++--,++----)

- se consideriamo il minore: ++0++ ci sono le seguenti possibilità (+++++,+++--,+----) la prima (per lo 0) e l'ultima (per 2° minore ++) sono da scartare quindi resta solo (+++--)

- allora tra le due possibilità (++++--,++----) la seconda è da scartare quindi al segnatura è (++++--)

nel caso +-0+-0

- il minore +-0+ dà luogo alle seguenti possibilità: (++++,++--,----) la prima e l'ultima sono da scartare quindi resta (++--)

- il minore +-0+- dà le seguenti possibilità: (++++-,++---,-----) la prima (solo un -) e l'ultima (def. neg.) sono da scartare quindi resta (++---)

- il determinante deve essere nullo quindi la segnatura è: (++---0)

[Massimo Gobbino]

Dunque, sulla seconda mi hai convinto.

Sulla prima molto meno, e ora mi spiego. Il minore ++0 basta da solo ad escludere ++----. Infatti questa segnatura implicherebbe l'esistenza di un sottospazio di dimensione 4 su cui la forma sarebbe definita negativa, ma allora questo spazio intersecherebbe quello di dimensione 3 corrispondente al primo minore, sul quale dunque ci sarebbe almeno una direzione di negatività, che invece non c'è. Spero che questo ragionamento sia chiaro.

Sembrerebbe di aver concluso ancora più facilmente, ma in realtà non è così perché ... e qui lascio a voi il piacere della scoperta!