Simulazione scritto d'esame 5

[Massimo Gobbino]

Ecco una simulazione di scritto natalizia, tra un cenone, un pranzo ed un brindisi.

Buon Natale a tutti!

[EDIT 28-12-2013] Ho corretto il file.

[DaroB94]

Gli esercizi mi tornano più o meno tutti, tuttavia al punto b del 4° esercizio sto riscontrando delle difficoltà.
La segnatura del prodotto scalare infatti mi torna ++- per a!=1( oppure ++0 se a=1) e non capisco come si possa ottenere l'identità da (M^t)BM, visto che B dovrebbe essere definita positiva.

[Massimo Gobbino]

Giustissimo. Era sbagliata la posizione del 3 , che va in fondo a destra. Ho corretto il file.

[Neomatrix092]

Scusate la mia ignoranza... ma che diavolo è il piede dell'altezza? mai sentito in vita mia

[13700]

Credo sia il punto sul lato dove "arriva" l'altezza.

[Neomatrix092]

Me lo sono fatto spiegare!
Volevo sapere se ho fatto il procedimento giusto per il 4° esercizio (punto a): per vedere la segnatura ho calcolato il determinante di Ba - lId e il polinomio caratteristico mi viene:

-l^3 + 5l^2 - l(8-a^2) +2a -3a^2 +1

sempre che abbia svolto correttamente i conti, ottengo che per a^2 > 8 è indefinito, altrimenti è definito positivo.
Giusto?

[DaroB94]

Ehm, non funziona così. Dovresti trovare i valori di lambda per cui quell'equazione di terzo grado viene 0, ma è un po' complicato.
Se usi i minori orlati di Sylvester ti viene che è definita positiva per -1<a<1/3, semidefinita positiva per a= -1 o 1/3, indefinita (2 + 1 -) per a<-1 o a>1/3

[Massimo Gobbino]

-l^3 + 5l^2 - l(8-a^2) +2a -3a^2 +1

Dev'esserci qualcosa che non va in quel polinomio caratteristico, perché deve venire anche ragionando alla Cartesio. Sta di fatto che con Sylvester in questo caso è molto più comodo

[13700]

Se usi i minori orlati di Sylvester ti viene che è definita positiva per -1<a<1/3, semidefinita positiva per a= -1 o 1/3, indefinita (2 + 1 -) per a<-1 o a>1/3

Boh però se ci metti a=1 ti viene una matrice con autovalori 0,1,4, quindi semidefinita e non indefinita. Probabilmente i segni sono al contrario -1/3 e 1.

-l^3 + 5l^2 - l(8-a^2) +2a -3a^2 +1
sempre che abbia svolto correttamente i conti, ottengo che per a^2 > 8 è indefinito, altrimenti è definito positivo.

A me sembra quasi giusto mi viene -x^3+5x^2+(a^2-5)x-3a^2+2a+1. Adesso basta fare uno schemino:
a^2-5>0 se e solo se |a|>sqrt(5)
-3a^2+2a+1>0 se e solo se -1/3<a<1
quindi i segni dei coefficienti sono fatti come segue (e per la regola di Cartesio, come da suggerimento, i segni delle radici si sanno)
-++- se a<-sqrt(5) (2 variazioni, nessuna radice nulla --> indefinito (2+,1-))
-+0- se a=-sqrt(5) (2 variazioni, nessuna radice nulla --> indefinito (2+,1-))
-+-- se -sqrt(5)<a<-1/3 (2 variazioni, nessuna radice nulla --> indefinito (2+,1-))
-+-0 se a=-1/3 (2 variazioni, 1 radice nulla --> semidef pos (2+,1 zero))
-+-+ se -1/3<a<1 (3 variazioni --> def pos)
-+-0 se a=1 (2 variazioni, 1 radice nulla --> semidef pos (2+,1 zero))
-+-- se 1<a<sqrt(5) (2 variazioni, nessuna radice nulla --> indefinito (2+,1-))
-+0- se a=sqrt(5) (2 variazioni, nessuna radice nulla --> indefinito (2+,1-))
-++- se a>sqrt(5) (2 variazioni, nessuna radice nulla --> indefinito (2+,1-))
Quindi è indef se a>1 o a<-1/3, def pos se -1/3<a<1, semidef pos se a=1, a=-1/3.

Ah comunque se lo facevi col polinomio che avevi trovato tu veniva giusto uguale, alla fine

[Bertrand Russell]

Ragazzi come vi viene il polinomio caratteristico dell es 3? Intendo quello per trovare gli autovalori e gli autospazi...

[DaroB94]

Il polinomio caratteristico è di 4° grado, dato che la matice è 4x4 e vengono 4 autovalori e quindi autovettori. Ciascun autovettore poi genera una retta

autovalori: 0, 3, 2 ,1

autospazi (autovettori):
span(0,0,0,1)
span(1,6,12,8)
span(0,1,4,4)
span(0,0,1,2)

[Massimo Gobbino]

Visto che si tratta di spazi di polinomi, alla fine gli autovettori li scriverei come polinomi e non come componenti, tra l'altro rispetto ad una base non specificata

[Bertrand Russell]

Ragazzi ma come avete fatto l'esercizio 5.b? Io mi sono trovato una base ortonormale con gram schmidt a partire da una base qualunque( nel mio caso ho preso la canonica ) poi ho messo i vettori della base in una matrice che ho chiamato M e poi ho fatto : M^t Bo M e dovrei trovare l'identità ma invece di avere all'ultimo numero in basso a destra un uno ho 1/3???????

[Ilmionomeèmaipiù]

Nell'esercizio 5.c vi esce che non esistono valori di a per i quali esiste una matrice M tale che M^tBM=I? Perchè io mi sono trovato una base ortonormale(generica, cioè in funzione di a) e ho imposto che M^tM=I cioè ho imposto che la matrice sia ortogonale, ma non è verificata per nessun valore, ho fatto bene il procedimento? Voi come avete operato?

[nomeutente]

Per il piede dell'altezza ho fatto il piano per a perpendicolarealla retta per bc ed ho trovato l'inters. Corretto?