Simulazione scritto d'esame 2

[DaroB94]

ho rifatto l'esercizio con Area= |AB| |AC| sqrt(1-(cos^2(alfa))) e mi torna sqrt(362), ora mi torna!

[GIMUSI]

ho rifatto l'esercizio con Area= |AB| |AC| sqrt(1-(cos^2(alfa))) e mi torna sqrt(362), ora mi torna!

comunque andava bene anche il tuo metodo (anche se non mi pare che a lezione sia stato trattato nello stesso modo)...però occhio al calcolo dell'area = modulo vettore prodotto vettoriale...magari prova anche con erone...è un metodo rapido anche quello e consente la verifica

[Massimo Gobbino]

Se poi alla fine uno divide pure per 2 ...

[GIMUSI]

avevo sottinteso area "del parallelogramma"...per l'area del triangolo moltiplicare per 1/2 è d'uopo

[DaroB94]

Diviso due... verissimo sqrt(362)/2

L'esercizio 4 mi torna avere:

1 soluzione per a != 10 e qualsiasi b (diverso) (Ri = Rc = 3)

impossibile per a = 10 e b != -21 (Rango Incompleta < Rango Completa)

infinite soluzioni rispetto a un parametro per a = 10 e b = -21 ( Ri = Rc = 2 )

Il punto b chiede qual'è l'insieme delle soluzioni nel caso queste siano più di una, perciò risolvo il sistema con b=-21 e a=10

e ottengo la retta (-6,3,0)+t(-2,-4,1)

[GIMUSI]

Diviso due... verissimo sqrt(362)/2

L'esercizio 4 mi torna avere:

1 soluzione per a != 10 e qualsiasi b (diverso) (Ri = Rc = 3)

impossibile per a = 10 e b != -21 (Rango Incompleta < Rango Completa)

infinite soluzioni rispetto a un parametro per a = 10 e b = -21 ( Ri = Rc = 2 )

Il punto b chiede qual'è l'insieme delle soluzioni nel caso queste siano più di una, perciò risolvo il sistema con b=-21 e a=10

e ottengo la retta (-6,3,0)+t(-2,-4,1)

mi torna tutto a parte il vettore velocità della retta...a me viene: (-6,3,0)+t(-18,4,1)

dovrebbe esser giusta così...ho fatto la verifica per t=0 e t=1 e i punti corrispondenti soddisfano il sistema

[DaroB94]

il sistema ( ho tolto una riga poichè lineamente dipendente )
| x+2y+10z = 0
| y+4z = 3

z=t
x= -2(3-4t)-10t = -6 +8t -10t = -6 - 2t
y= 3-4t

retta: (-6,3,0)+t(-2,-4,1) controlla pure ma credo che i calcoli siano giusti

[GIMUSI]

il sistema ( ho tolto una riga poichè lineamente dipendente )
| x+2y+10z = 0
| y+4z = 3

z=t
x= -2(3-4t)-10t = -6 +8t -10t = -6 - 2t
y= 3-4t

retta: (-6,3,0)+t(-2,-4,1) controlla pure ma credo che i calcoli siano giusti

hai ragione ...in un passaggio la terza equazione era diventata y-4z=3...per questo mi tornava pure la verifica ...è sempre meglio farla sul sistema iniziale...grazie

[GIMUSI]

allego le soluzioni con svolgimento della "Simulazione scritto d'esame 2"

[nomeutente]

Angolo tra il piano xz e la retta?

[volm92]

Angolo tra il piano xz e la retta?

Il piano xz si può scrivere, in forma cartesiana, in questo modo: y=0.
La retta // ad AB e passante per C, avrà direzione: B-A e punto "base" C.
Quindi avrà, come equazione parametrica: C+t(B-A) => (-1,2,3)+t(1,3,6)

Un vettore del tipo (0,y,0) sarà perpendicolare al piano xz. Prendiamo un qualunque vettore perpendicolare al piano, per esempio: (0,1,0), e troviamo l'angolo tra la direzione della retta e la normale al piano.
Per trovare l'angolo imposto la formula del prodotto scalare: <(0,1,0),(1,3,6)>= ||(0,1,0)|| * ||(1,3,6)|| * cos (α) =>

cos (α)= <(0,1,0),(1,3,6)>/(||(0,1,0)|| * ||(1,3,6)||)

cos (α) = 3/ sqrt(46) => α = arccos (3/ sqrt(46))

A questo punto però chi è α? α è l'angolo tra la normale del piano e la retta...non tra il piano e la retta. Ma mi basterà fare 90 - α per trovare l'angolo richiesto.

Spero di non essermi perso

[nomeutente]

Grazie

[Pirello]

Ho un piccolo dubbio per il punto B del secondo esercizio.. Quando mi chiede di dimostrare che esiste un unica applicazione lineare, devo lavorare alla Gauss e vedere se vengono i pivot su ogni colonna, però non mi è chiaro su quale matrice devo lavorare. Inizialmente ho pensato di lavorare sulla matrice composta dai vettori delle basi di V e W.. Però confrontando con lo svolgimento di GIMUSI non ho visto nessun passaggio per dimostrare l'unicità dell'applicazione lineare, se non che hai costruito una matrice nella base canonica ( la tua A' ).. Devo lavorare su quella? Se così fosse la risposta sarebbe immediata...

Poi ci sarebbe un altro dubbio.. Ma prima preferisco attendere la risposta al dubbio di sopra ( se mai arriverà )

[Leonardo]

La risposta è immediata dal punto precedente. Per il teorema di struttura delle applicazioni lineari si ha che esiste 1 sola applicazione lineare che manda un vettore dove ci pare(detto in soldoni) se e solo se i vettori che considero sono una base.
Nel nostro caso abbiamo una f da R^4 in R^4 ma al punto a dello stesso esercizio abbiamo dimostrato che R^4 era uguale a V(+)W (somma diretta) per cui vuol dire che mettendo insieme i vettori di V e quelli di W otteniamo una base di R^4.
Detto questo si capisce come mai risolvendo il primo punto sia gratis l'unicità dell'applicazione lineare che viene considerata.

spero di essermi spiegato abbastanza bene comunque chiedi pure se non ti torna qualcos'altro

[Pirello]

Grazie mille!! Ad essere sincero ci avevo fatto un pensierino sul discorso della somma diretta, però temevo di andare totalmente fuori strada.. Si allora il secondo dubbio che mi attanagliava è nella ricerca della matrice di cambio di base ( non ci vado molto d'accordo col cambio di base, ed è un bel guaio).. Io praticamente ho solo una matrice, che io ho chiamato M, che ha come vettori colonna i vettori-base di V e di W, applicando le condizioni date dal testo.. Ora mi è venuta la strana idea di prendere la stessa matrice senza le condizioni.. Sorpresona: non so conquale delle due devo fare l'inversa perchè le matrici sostanzialmente hanno gli "stessi" vettori!