Rette nel piano 1

[fall]

Salve ragazzi..,
Data l'equazione di una retta r in forma cartesiana ed una descrizione parametrico con 2 costanti (a) e (b) incognite. Come si ricava le incognite (a) e (b)?
esempio 1:
y = 2x; (a + t, bt)

[e.rapuano]

I coefficienti di t (in questo caso (1,b)) devono essere in modo tale che il rapporto b/1 (sempre in questo esempio) sia uguale al coefficiente angolare della retta in forma cartesiana (in questo caso 2). Quindi b=2.
poi la retta y=2x passa per l'origine perchè ha intercetta zero, e quindi "a" dev'essere zero perchè altrimenti la retta passerebbe per un punto di coordinate (a,0) e non passerebbe per l'origine.

[Massimo Gobbino]

Faccio un paio di aggiunte. Per il problema ci sono almeno 3 approcci.

1. rapuano's basata sul coefficiente angolare. Il vantaggio è che è molto "precorsistica", cioè tira in ballo un oggetto ben noto come il coefficiente angolare. Lo svantaggio è che "va interpretata" nel caso di rette parallele all'asse y.
2. Sostituzione bovina. Si tratta di andare ad inserire la parametrizzazione data nell'equazione cartesiana e poi uguagliare a 0 il coefficiente della t ed il termine noto. Nell'esempio
   
   [tex]bt=2(a+t)=2a+2t[/tex]
   
   da cui b=2 e a=0.
3. Relazione tra coefficienti e velocità. Intanto in ogni caso conviene scrivere la forma parametrica come
   
   punto base + t * velocità (o direzione)
   
   Nell'esempio
   
   [tex](a,0)+t(1,b)[/tex]
   
   Ora il punto base deve stare sulla retta, quindi basta andare a sostituirlo nell'equazione cartesiana per ottenere 0=2a, e quindi a=0. Per quanto riguarda il vettore velocità, bisogna ricordare che se l'equazione cartesiana è hx+ky+j=0, allora il vettore velocità è un qualunque multiplo di (-k,h), o di (k,-h), che è lo stesso. Nel nostro caso 2x-y=0, quindi un possibile vettore velocità è (1,2). Visto che noi lo cercavamo del tipo (1,b), è chiaro che b=2. Questo modo di fare è quello che poi si usa di più quando siamo nello spazio, quindi tanto vale familiarizzare subito.

Detto questo, che ne direste di scrivere qui le risposte di quegli esercizi?

[mrgesualdo]

Salve,
Avrei un dubbio su come passare dalla forma parametrica ( t - 2 , 5 ) e ( - 2 , 3t + 5) in forma cartesiana
Help!

[fall]

Detto questo, che ne direste di scrivere qui le risposte di quegli esercizi?

secondo i conti che ho fatto i risultati della prima tabella sono i seguenti:
a | b
0 | 2
0 | 4
3/2 | 2
-1 | 5
5 |-5
1 | 4
5 | 2
5 | 2
-1 | -2

[e.rapuano]

Mi trovo tutto tranne il risultato in cui hai scritto 1 | 4, io mi trovo 4 | 1

[fall]

Giusto invece di 1 | 4 è 4 | 1...!

[GIMUSI]

allego le soluzioni dei test 1-4 "Coordinate polari" e "Rette nel piano 1,2,3"

e.rapuano ha segnalato i seguenti errori in "Coordinate polari nel piano":
- riga n.16 a sx n° soluzioni = 2
- riga n.19 a dx n° soluzioni = 1

e.rapuano ha segnalato i seguenti errori in "Rette nel piano 2":
- per il n°9 [tex](15,-7)[/tex]
- per il n.20 il punto di intersezione è [tex](48/13, 36/13)[/tex]

magus ha segnalato il seguente errore in "Rette nel piano 3" per il n.10:
- le rette [tex]r_2[/tex] e [tex]r_3[/tex] hanno equazione [tex]y=-3x+3[/tex] e [tex]y=x/3-1/3[/tex]

[magus]

Almeno le prime due soluzioni del secondo esercizio di Rette nel piano 3 sono errate.

[Massimo Gobbino]

Almeno le prime due soluzioni del secondo esercizio di Rette nel piano 3 sono errate.

Uhm, potrebbe anche essere vero, ma se vuoi essere utile alla comunità devi spiegare il perché, mostrando quali passaggi hai svolto e a quale diversa soluzione hanno portato.

[magus]

Parlo della colonna di destra dove bisogna trovare le due rette passanti per un punto e formanti con la retta r un angolo theta.
Prendo ad esempio il secondo
retta r:x+2y=7 theta:45° (x0,y0):(1,0)
Trovo il vettore velocità della retta r che è ad esempio (-2,1).
Trovo la retta passante per (1,0) lasciando incognito il coefficiente angolare, quindi y=mx-m, e anche di questo prendiamo il vettore velocità che può essere (1,m).
Quindi applico su questi due vettori la formula <(-2,1),(1,m)>=||(-2,1)||||(1,m)||cos45° e risolvo trovando m che dovrebbe avere due soluzioni, in questo caso -3 e 1/3.
Quindi le rette r2 e r3 saranno y=-3x+3 e y=1/3x-1/3.
Spero sia giusto.

[GIMUSI]

Parlo della colonna di destra dove bisogna trovare le due rette passanti per un punto e formanti con la retta r un angolo theta.
Prendo ad esempio il secondo
retta r:x+2y=7 theta:45° (x0,y0):(1,0)
Trovo il vettore velocità della retta r che è ad esempio (-2,1).
Trovo la retta passante per (1,0) lasciando incognito il coefficiente angolare, quindi y=mx-m, e anche di questo prendiamo il vettore velocità che può essere (1,m).
Quindi applico su questi due vettori la formula <(-2,1),(1,m)>=||(-2,1)||||(1,m)||cos45° e risolvo trovando m che dovrebbe avere due soluzioni, in questo caso -3 e 1/3.
Quindi le rette r2 e r3 saranno y=-3x+3 e y=1/3x-1/3.
Spero sia giusto.

hai ragione...credo di essermi perso il 2 davanti alla y...

l'ho rifatto ottenendo le tue stesse soluzioni

grazie per la segnalazione la metto a commento del file...se ne noti altre fammi sapere

[Freddy Sassone]

[*]Relazione tra coefficienti e velocità. Intanto in ogni caso conviene scrivere la forma parametrica come

punto base + t * velocità (o direzione)

Nell'esempio

[tex](a,0)+t(1,b)[/tex]

Ora il punto base deve stare sulla retta, quindi basta andare a sostituirlo nell'equazione cartesiana per ottenere 0=2a, e quindi a=0. Per quanto riguarda il vettore velocità, bisogna ricordare che se l'equazione cartesiana è hx+ky+j=0, allora il vettore velocità è un qualunque multiplo di (-k,h), o di (k,-h), che è lo stesso. Nel nostro caso 2x-y=0, quindi un possibile vettore velocità è (1,2). Visto che noi lo cercavamo del tipo (1,b), è chiaro che b=2. Questo modo di fare è quello che poi si usa di più quando siamo nello spazio, quindi tanto vale familiarizzare subito.[/list]

Detto questo, che ne direste di scrivere qui le risposte di quegli esercizi?

professore per trovare la b ,in rette nel piano 1, non si può sostituire la direzione nella retta in forma cartesiana?? è corretto come procedimento??

[e.rapuano]

Non per fare il guastafeste dopo così tanto tempo, ma se mi trovo a sbagliare questi primi esercizi non voglio avviarmi avanti...
Nella seconda parte degli esercizi sulle coordinate polari nel piano, agli esercizi 6,16 e 18 mi trovo rispettivamente i valori 2, 0, 1.
E già che ci siamo, negli esercizi di "Rette nel piano 2" numeri: 8,9,10,20 mi trovo (rispettivamente) i valori:
(3,20/3) | rad(9/10)
(15,-7) | rad2/2
(1,-2) | 4/5
(48/13, 36/13) | 13/5rad(10)

[GIMUSI]

Nella seconda parte degli esercizi sulle coordinate polari nel piano, agli esercizi 6,16 e 18 mi trovo rispettivamente i valori 2, 0, 1.

non ho capito a quali risultati ti riferisci esattamente

...negli esercizi di "Rette nel piano 2" numeri: 8,9,10,20 mi trovo (rispettivamente) i valori:
(3,20/3) | rad(9/10)
(15,-7) | rad2/2
(1,-2) | 4/5
(48/13, 36/13) | 13/5rad(10)

i n°8 e il n°10 coincidono con quelle che ho trovato anch'io...forse nel pdf si leggono un po' male

per il n°9 ok (15,-7) è il valore corretto

per il n.20 ok (48/13, 36/13) per il punto di intersezione mentre per il coseno confermerei il valore [tex]9\sqrt10/50[/tex]