Composizione di funzioni

[Alessandro]

Buongiorno professore, stavo seguendo la lezione sulla definizione di funzione e la composizione di funzioni da remoto e stavo provando come esercizio a dare a quest’ultima una definizione formale.
Qualcosa ho tirato fuori, solo ho qualche dubbi sulla correttezza logica di tale funzione e sopratutto sulla sua efficacia visto che mi sembra eccessivamente lunga.
Potrebbe consigliarmi un modo per migliorarla?
Allego qui sotto una foto:

[Alessandro]

Sull’immagine ho sbagliato a scrivere l’ultimo pezzo non che collega B con A ma B con C

[Massimo Gobbino]

Occhio, il disegno in fondo non va bene, o per lo meno la sua metà destra non rappresenta una funzione da B a C. Infatti, per avere una funzione da B a C, deve partire esattamente una freccia da ogni elemento di B.
Non capisco poi cosa vorrebbe essere quella formula enorme all'inizio (un insieme? una proposizione? un predicato?). Così come è scritta mi pare che non abbia nessun senso.
La definizione formale di composizione è quella a metà della pagina 2 della Lezione 3 di quest'anno.

[Alessandro]

La ringrazio della risposta.
Ho visto anche la lezione di quest’anno sulle funzioni in cui è proprio scritta la definizione di funzione composta, in questo modo ho corretto gli errori, solamente ho un dubbio:

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All’inizio vengono definite le coppie di Gf e Gg come sottoinsiemi del prodotto cartesiano, ma nella definizione di funzione composta sarebbe meglio specificare che l’elemento b appartiene all’insieme B oppure è superfluo?
Infine ho provato a scrivere un’altra definizione sia per le funzioni che per le funzioni composte e volevo chiederle se le trova corrette:
-Questa è la definizione di funzione vista come insieme per proprietà, in realtà è praticamente identica a quella scritta nel pdf solamente volevo capire se scritti dopo il tale che i quantificatori vanno bene:

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-Mentre quest’altra è la definizione di funzione composta:

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[Massimo Gobbino]

Ho visto anche la lezione di quest’anno sulle funzioni in cui è proprio scritta la definizione di funzione composta, in questo modo ho corretto gli errori, solamente ho un dubbio:

La terza riga della prima immagine, quella che dovrebbe/vorrebbe essere il grafico della composizione, non ha nessun senso, perché dopo i due punti si parla di un b che non è stato quantificato. La corrispondete formula scritta a lezione è diversa.

-Questa è la definizione di funzione vista come insieme per proprietà, in realtà è praticamente identica a quella scritta nel pdf solamente volevo capire se scritti dopo il tale che i quantificatori vanno bene:

Anche la formula contenuta nella seconda immagine non ha nessun senso, perché in quella che dovrebbe essere la proprietà dopo i due punti ci sono solo dei quantificatori ma non il predicato. Inoltre quando uno definisce la funzione come grafico la "funzione f non c'è ancora". La definizione corretta è la seguente:

un sottoinsieme \(G\subseteq A\times B\) è una funzione se e solo se

\(\forall a\in A\ \exists!\ b\in B\ :\ (a,b)\in G\)

A posteriori la funzione f diventa quella che ad ogni a associa l'unico b corrispondente.

-Mentre quest’altra è la definizione di funzione composta:

La formula della terza immagine cosa vorrebbe essere? Una definizione della composizione? Ora, la composizione è un insieme. Quella scritta non è una presentazione per elenco e nemmeno per proprietà. Che tipo di presentazione vorrebbe essere? Si capisce davvero poco.