Errori nelle lezioni 2019/20

[PIELEO13]

Mi sembra che ci sia un'imprecisione nella dimostrazione del teorema di immersione nel caso p<d (lezione 31).
Allo step 1 si fa il caso \(p=1\) e \(u \in C^{\infty}_{c}(\mathbb{R}^{d})\).
Allo step 2 si fa il caso \(p\) generico e \(u \in C^{\infty}_{c}(\mathbb{R}^{d})\). A un certo punto dello step 2 si prende \(v(x) = \phi(u(x))\) dove \(\phi(x)=x \cdot |x|^{r}\) e si applica il caso dello step 1 alla funzione \(v\).
Tuttavia la \(v\) è solo \( \in C^{1}_{c}(\mathbb{R}^{d})\) quindi non è proprio vero che si può applicare.
Direi che è sufficiente nello step 1 limitarsi a dimostrarlo per le \(u \in C^{1}_{c}(\mathbb{R}^{d})\) e lasciare inalterato tutto il resto. I passaggi mi sembrano tornare perché si sfrutta soltanto che si può derivare e Gagliardo (per cui mi serve solo continuità di u).
Qualcuno che mi confermi o smentisca?

[Massimo Gobbino]

Qualcuno che mi confermi o smentisca?

Confermo io .

La cosa è davvero buffa. L'anno precedente avevo fatto la Gagliardo solo per funzioni \(C^\infty_c\), poi qualcuno mi aveva fatto notare che proprio in quel passaggio serviva \(C^1_c\), per cui quest'anno l'ho presa comoda in \(C^0_c\). In realtà anche lo step 1 andava preso in \(C^1_c\).

Solo per completezza: nella Gagliardo la continuità e il supporto compatto non servono nemmeno, ovviamente. Sono solo comodi per fare i conti senza porsi troppi problemi.

[fra_ppa]

Lezione 44, prima facciata. La condizione (iv) è che \(u\) sia soluzione debole di

\(-\int_{\Omega}<A(x)Du,D\varphi> dx = \int_{\Omega} f\varphi\, dx \)

giusto?

[Massimo Gobbino]

Lezione 44, prima facciata. La condizione (iv) è che \(u\) sia soluzione debole di

\(-\int_{\Omega}<A(x)Du,D\varphi> dx = \int_{\Omega} f\varphi\, dx \)

giusto?

Of course

[fra_ppa]

Lezione 42. Primissima pagina. Dimostrazione della PSW per immersione. La prima disuguaglianza per \(q<p_*\)

\( ||u||_{\textrm{L}^q(\Omega)}\leq c(p,d,\Omega) ||u||_{\textrm{L}^{p*}(\Omega)}\)

secondo me segue più semplicemente per limitatezza di \(\Omega\)... (probabilmente dire per interpolazione è solo un altro modo di dire la stessa cosa? solo che in tal caso non saprei che esponente usare per avere solo la norma \(p_*\) a RHS)

[Massimo Gobbino]

La prima disuguaglianza per \(q<p_*\)

\( ||u||_{\textrm{L}^q(\Omega)}\leq c(p,d,\Omega) ||u||_{\textrm{L}^{p*}(\Omega)}\)

secondo me segue più semplicemente per limitatezza di \(\Omega\)...

Ovviamente l’ho scritta sbagliata, e anche scrivere solo per limitatezza di \(\Omega\) non basta (come funzionerebbe?). In realtà per interpolazione si arriva a

\(\|u\|_{L^q(\Omega)}\leq \|u\|_{L^p(\Omega)}^\alpha \cdot \|u\|_{L^{p*}(\Omega)}^{1-\alpha}\)

e a questo punto entrambi i termini si stimano con la full norm in \(W^{1,p}\) per immersione.

P.S. Questo dice che volendo non c'è dipendenza da q. Interessante.

[fra_ppa]

Io direi così (spero di non star prendendo un granchio pauroso) applicando la disuguaglianza di Holder con esponente \(\frac{p_*}{q}>1\):

\(||u||_{\textrm{L}^q(\Omega)}^q \leq \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{p_*}dx\right)^{\frac{q}{p_*}}\cdot \textrm{meas}(\Omega)^{1-\frac{q}{p_*}} \leq ||u||_{\textrm{L}^{p_*}(\Omega)}^q \cdot \textrm{meas}(\Omega)^{q\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p_*}\right)},\)
dunque
\(||u||_{\textrm{L}^q(\Omega)} \leq ||u||_{\textrm{L}^{p_*}(\Omega)}\cdot \textrm{meas}(\Omega)^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p_*}}.\)

E questo vale per \(q<p_*\), anche nel caso in cui \(q<p\). Se \(q>p\), allora la costante si può rendere indipendente da \(q\) maggiorandola con \(\textrm{meas}(\Omega)^{\frac{1}{p}-\frac{1}{p_*}}\). Potrebbe funzionare?

PS. Chiaramente sto assumendo \(p<d\) e \(q<p_*\)

[Massimo Gobbino]

Io direi così (spero di non star prendendo un granchio pauroso)

Nessun granchio, va benissimo . Vantaggi della misura finita.

Osservazione forse istruttiva: la formula che hai scritto si può pensare come un caso limite di interpolazione tra \(L^{p*}\) ed un fantomatico \(L^0\). Basta ripercorrere la dimostrazione per rendersene conto.

[Lorececco]

Riprendendo queste cose in mano per un altro esame mi è venuta in mente un'osservazione banale: nella lezione 47 dimostriamo che compatto + simmetrico => continuo WS. Ma questa cosa è vera anche per operatori (compatti) non simmetrici! Infatti nella dimostrazione basta prendere \(f^*\) al posto di \(f\) e tutto (credo) fila liscio

[Studente1]

Vado cauto prima di parlare di errore, perchè probabilmente c'è qualcosa che oggi mi sfugge. Cosa possiamo dire delle derivate di una funzione C infinito a supporto compatto?

In particolare, in riferimento alla lezione 28, nel passo base dell'induzione si dice che \(uD_{x_{i}}\psi\in{L^p}\). Sarebbe ok se anche la derivata di \(\psi\) avesse supporto compatto, ma è solo \(C^{\infty}\). Perchè allora il prodotto è in\( L^p\)?

EDIT: mi riferisco al passo base dell'induzione del lemma "fastidioso"

[Massimo Gobbino]

Sarebbe ok se anche la derivata di \(\psi\) avesse supporto compatto, ma è solo \(C^{\infty}\).

Non capisco. In quella dimostrazione \(\psi\) è a supporto compatto.

[Studente1]

Sarebbe ok se anche la derivata di \(\psi\) avesse supporto compatto, ma è solo \(C^{\infty}\).

Non capisco. In quella dimostrazione \(\psi\) è a supporto compatto.

La funzione \(\psi\) è a supporto compatto (e \(C^\infty\)). \(D_{x_{i}}\psi\) è a supporto compatto?
Per fugare ogni mio dubbio, pongo diversamente la domanda: in \(C_{c}^{\infty}\) sono presenti solo funzioni che hanno supporto compatto e le cui derivate hanno supporto compatto? Se sì, il mio dubbio è risolto e non avevo pienamente afferrato la definizione di \(C_{c}^{\infty}\) . Se no, c'è qualche relazione tra il supporto di una funzione e il supporto della sua derivata?

[Massimo Gobbino]

Per fugare ogni mio dubbio, pongo diversamente la domanda: in \(C_{c}^{\infty}\) sono presenti solo funzioni che hanno supporto compatto e le cui derivate hanno supporto compatto?

Gulp e doppio gulp! Se una funzione ha supporto compatto vuol dire che è nulla al di fuori di un pallone, ma allora le sue derivate (prime, seconde, 27-esime) coincidono con quelle della funzione nulla fuori dallo stesso pallone. Questo perché la derivata è una operazione "locale".

[Studente1]

Per fugare ogni mio dubbio, pongo diversamente la domanda: in \(C_{c}^{\infty}\) sono presenti solo funzioni che hanno supporto compatto e le cui derivate hanno supporto compatto?

Gulp e doppio gulp! Se una funzione ha supporto compatto vuol dire che è nulla al di fuori di un pallone, ma allora le sue derivate (prime, seconde, 27-esime) coincidono con quelle della funzione nulla fuori dallo stesso pallone. Questo perché la derivata è una operazione "locale".

Si, ovviamente questo lo avevo chiaro, il mio problema era quello che succedeva all'interno del pallone. Alla fine, ne sono venuto a capo: il problema era nella definizione di supporto. Non so perchè negli ultimi giorni lo consideravo come l'insieme dei punti in cui la funzione non si annullasse e senza considerarne quindi la chiusura. Mi sono perso in una banalità La ringrazio per la disponibilità