Errori nelle lezioni 2019/20

[PIELEO13]

Mi sembra che ci sia un'imprecisione nella dimostrazione del teorema di immersione nel caso p<d (lezione 31).
Allo step 1 si fa il caso $p=1$ e $u \in C^{\infty}_{c}(\mathbb{R}^{d})$.
Allo step 2 si fa il caso $p$ generico e $u \in C^{\infty}_{c}(\mathbb{R}^{d})$. A un certo punto dello step 2 si prende $v(x) = \phi(u(x))$ dove $\phi(x)=x \cdot |x|^{r}$ e si applica il caso dello step 1 alla funzione $v$.
Tuttavia la $v$ è solo $\in C^{1}_{c}(\mathbb{R}^{d})$ quindi non è proprio vero che si può applicare.
Direi che è sufficiente nello step 1 limitarsi a dimostrarlo per le $u \in C^{1}_{c}(\mathbb{R}^{d})$ e lasciare inalterato tutto il resto. I passaggi mi sembrano tornare perché si sfrutta soltanto che si può derivare e Gagliardo (per cui mi serve solo continuità di u).
Qualcuno che mi confermi o smentisca?

[Massimo Gobbino]

Qualcuno che mi confermi o smentisca?

Confermo io .

La cosa è davvero buffa. L'anno precedente avevo fatto la Gagliardo solo per funzioni $C^\infty_c$, poi qualcuno mi aveva fatto notare che proprio in quel passaggio serviva $C^1_c$, per cui quest'anno l'ho presa comoda in $C^0_c$. In realtà anche lo step 1 andava preso in $C^1_c$.

Solo per completezza: nella Gagliardo la continuità e il supporto compatto non servono nemmeno, ovviamente. Sono solo comodi per fare i conti senza porsi troppi problemi.

[fra_ppa]

Lezione 44, prima facciata. La condizione (iv) è che $u$ sia soluzione debole di

$-\int_{\Omega}<A(x)Du,D\varphi> dx = \int_{\Omega} f\varphi\, dx$

giusto?

[Massimo Gobbino]

Lezione 44, prima facciata. La condizione (iv) è che $u$ sia soluzione debole di

$-\int_{\Omega}<A(x)Du,D\varphi> dx = \int_{\Omega} f\varphi\, dx$

giusto?

Of course

[fra_ppa]

Lezione 42. Primissima pagina. Dimostrazione della PSW per immersione. La prima disuguaglianza per $q<p_*$

$||u||_{\textrm{L}^q(\Omega)}\leq c(p,d,\Omega) ||u||_{\textrm{L}^{p*}(\Omega)}$

secondo me segue più semplicemente per limitatezza di $\Omega$... (probabilmente dire per interpolazione è solo un altro modo di dire la stessa cosa? solo che in tal caso non saprei che esponente usare per avere solo la norma $p_*$ a RHS)

[Massimo Gobbino]

La prima disuguaglianza per $q<p_*$

$||u||_{\textrm{L}^q(\Omega)}\leq c(p,d,\Omega) ||u||_{\textrm{L}^{p*}(\Omega)}$

secondo me segue più semplicemente per limitatezza di $\Omega$...

Ovviamente l’ho scritta sbagliata, e anche scrivere solo per limitatezza di $\Omega$ non basta (come funzionerebbe?). In realtà per interpolazione si arriva a

$\|u\|_{L^q(\Omega)}\leq \|u\|_{L^p(\Omega)}^\alpha \cdot \|u\|_{L^{p*}(\Omega)}^{1-\alpha}$

e a questo punto entrambi i termini si stimano con la full norm in $W^{1,p}$ per immersione.

P.S. Questo dice che volendo non c'è dipendenza da q. Interessante.

[fra_ppa]

Io direi così (spero di non star prendendo un granchio pauroso) applicando la disuguaglianza di Holder con esponente $\frac{p_*}{q}>1$:

$||u||_{\textrm{L}^q(\Omega)}^q \leq \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{p_*}dx\right)^{\frac{q}{p_*}}\cdot \textrm{meas}(\Omega)^{1-\frac{q}{p_*}} \leq ||u||_{\textrm{L}^{p_*}(\Omega)}^q \cdot \textrm{meas}(\Omega)^{q\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p_*}\right)},$
dunque
$||u||_{\textrm{L}^q(\Omega)} \leq ||u||_{\textrm{L}^{p_*}(\Omega)}\cdot \textrm{meas}(\Omega)^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p_*}}.$

E questo vale per $q<p_*$, anche nel caso in cui $q<p$. Se $q>p$, allora la costante si può rendere indipendente da $q$ maggiorandola con $\textrm{meas}(\Omega)^{\frac{1}{p}-\frac{1}{p_*}}$. Potrebbe funzionare?

PS. Chiaramente sto assumendo $p<d$ e $q<p_*$

[Massimo Gobbino]

Io direi così (spero di non star prendendo un granchio pauroso)

Nessun granchio, va benissimo . Vantaggi della misura finita.

Osservazione forse istruttiva: la formula che hai scritto si può pensare come un caso limite di interpolazione tra $L^{p*}$ ed un fantomatico $L^0$. Basta ripercorrere la dimostrazione per rendersene conto.

[Lorececco]

Riprendendo queste cose in mano per un altro esame mi è venuta in mente un'osservazione banale: nella lezione 47 dimostriamo che compatto + simmetrico => continuo WS. Ma questa cosa è vera anche per operatori (compatti) non simmetrici! Infatti nella dimostrazione basta prendere $f^*$ al posto di $f$ e tutto (credo) fila liscio

[Studente1]

Vado cauto prima di parlare di errore, perchè probabilmente c'è qualcosa che oggi mi sfugge. Cosa possiamo dire delle derivate di una funzione C infinito a supporto compatto?

In particolare, in riferimento alla lezione 28, nel passo base dell'induzione si dice che $uD_{x_{i}}\psi\in{L^p}$. Sarebbe ok se anche la derivata di $\psi$ avesse supporto compatto, ma è solo $C^{\infty}$. Perchè allora il prodotto è in$L^p$?

EDIT: mi riferisco al passo base dell'induzione del lemma "fastidioso"

[Massimo Gobbino]

Sarebbe ok se anche la derivata di $\psi$ avesse supporto compatto, ma è solo $C^{\infty}$.

Non capisco. In quella dimostrazione $\psi$ è a supporto compatto.

[Studente1]

Sarebbe ok se anche la derivata di $\psi$ avesse supporto compatto, ma è solo $C^{\infty}$.

Non capisco. In quella dimostrazione $\psi$ è a supporto compatto.

La funzione $\psi$ è a supporto compatto (e $C^\infty$). $D_{x_{i}}\psi$ è a supporto compatto?
Per fugare ogni mio dubbio, pongo diversamente la domanda: in $C_{c}^{\infty}$ sono presenti solo funzioni che hanno supporto compatto e le cui derivate hanno supporto compatto? Se sì, il mio dubbio è risolto e non avevo pienamente afferrato la definizione di $C_{c}^{\infty}$ . Se no, c'è qualche relazione tra il supporto di una funzione e il supporto della sua derivata?

[Massimo Gobbino]

Per fugare ogni mio dubbio, pongo diversamente la domanda: in $C_{c}^{\infty}$ sono presenti solo funzioni che hanno supporto compatto e le cui derivate hanno supporto compatto?

Gulp e doppio gulp! Se una funzione ha supporto compatto vuol dire che è nulla al di fuori di un pallone, ma allora le sue derivate (prime, seconde, 27-esime) coincidono con quelle della funzione nulla fuori dallo stesso pallone. Questo perché la derivata è una operazione "locale".

[Studente1]

Per fugare ogni mio dubbio, pongo diversamente la domanda: in $C_{c}^{\infty}$ sono presenti solo funzioni che hanno supporto compatto e le cui derivate hanno supporto compatto?

Gulp e doppio gulp! Se una funzione ha supporto compatto vuol dire che è nulla al di fuori di un pallone, ma allora le sue derivate (prime, seconde, 27-esime) coincidono con quelle della funzione nulla fuori dallo stesso pallone. Questo perché la derivata è una operazione "locale".

Si, ovviamente questo lo avevo chiaro, il mio problema era quello che succedeva all'interno del pallone. Alla fine, ne sono venuto a capo: il problema era nella definizione di supporto. Non so perchè negli ultimi giorni lo consideravo come l'insieme dei punti in cui la funzione non si annullasse e senza considerarne quindi la chiusura. Mi sono perso in una banalità La ringrazio per la disponibilità