Equazioni differenziali - Studio 5

[Lorececco]

Buonasera, scrivo qui per chiedere se la soluzione - esercizio 3 - trovata sia non tanto giusta (c'è la verifica per quello), quanto completa (o ci sono altre soluzioni?). Allego PDF. Buona serata,

Lorenzo

[Federico.M]

Ciao lorececco, ho provato anche io a risolvere l'esercizio proposto e, seguendo il tuo ragionamento, sono arrivato allo stesso risultato per la soluzione generale contenente le due costanti distinte. Tuttavia, svolgendo la verifica, sono arrivato ad una soluzione leggermente diversa, dovuta alla relazione che lega le due costanti. Allego file con svolgimento ..

[Massimo Gobbino]

Direi che ci siamo, bravi! Tra l'altro, la soluzione identicamente nulla si può pensare come ottenuta facendo il limite per k che tende all'infinito di quella con il segno negativo .

Ed ora ... un po' di "lateral thinking" ... prendiamo l'equazione iniziale e scriviamo la derivata come du/dt come nelle equazioni a variabili separabili. Ora facciamo il reciproco a destra e sinistra, e pensiamo la soluzione come t(u) invece che u(t), cioè vogliamo ricavare t in funzione di u e non viceversa . Allora ...

[Federico.M]

Si ottiene un'equazione differenziale lineare del 1° ordine, risolvendo la quale si trova t in funzione di u. Successivamente, calcolando la funzione inversa, ritroviamo la stessa soluzione dell'equazione di partenza e la stessa relazione che lega le costanti c1 e c2 .