inf-sup-max-min 3

[andi]

F:[tex]&|x|&[/tex] e l'insieme: [tex]&x^2+y^2<=4&[/tex].
ora la soluzione dice che ci sono infiniti punti di minimo… la cosa è dovuta al fatto che al variare di y con x=0 la funzione fa sempre 0 o c'è qualcos'altro sotto?

Ps. Chiedo scusa se sparo qualche buffonata(per essere delicati ) ma meglio qui che all'esame! xD

[GIMUSI]

F:[tex]&|x|&[/tex] e l'insieme: [tex]&x^2+y^2<=4&[/tex].
ora la soluzione dice che ci sono infiniti punti di minimo… la cosa è dovuta al fatto che al variare di y con x=0 la funzione fa sempre 0 o c'è qualcos'altro sotto?

certo trattandosi di un valore assoluto i punti di zero sono senz'altro punti di minimo...tra l'altro in questo caso non c'è bisogno di scomodare né le derivate né lagrange...basta ragionare con le curve/linee di livello

[volm92]

Funzione: [tex]$f (x, y)=2^{x^2+y^2}$[/tex]

Relazione: [tex]$x^4+2y^4=6$[/tex]

I massimi li ho trovati, i minimi non so come fare. O meglio, dai punti che trovo svolgendo il sistema, escono tutti massimi (valore 8, quantità 4). Ovviamente dico che sono massimi perché ho visto la soluzione. Del valore minimo ([tex]2^{\sqrt{3}}[/tex]) non ne vedo neanche l'ombra
Qualcuni sa consigliarmi? Grazie

[andi]

F:[tex]&|x|&[/tex] e l'insieme: [tex]&x^2+y^2<=4&[/tex].
ora la soluzione dice che ci sono infiniti punti di minimo… la cosa è dovuta al fatto che al variare di y con x=0 la funzione fa sempre 0 o c'è qualcos'altro sotto?

certo trattandosi di un valore assoluto i punti di zero sono senz'altro punti di minimo...tra l'altro in questo caso non c'è bisogno di scomodare né le derivate né lagrange...basta ragionare con le curve/linee di livello

Si ok! Ma adesso qual'è la differenza tra:
1) [tex]$|x-1|$[/tex]
2) [tex]$|x-2|$[/tex]
3) [tex]$|x-3|$[/tex]
Tutti e tre con lo stesso insieme, ragionando allo stesso modo di |x| dovrebbero avere tutti infiniti punti di minimo, invece solo 1 li ha, mentre il 2 e il 3 lo hanno soltanto uno! Che differenza c'è?

[GIMUSI]

Si ok! Ma adesso qual'è la differenza tra:
1) [tex]$|x-1|$[/tex]
2) [tex]$|x-2|$[/tex]
3) [tex]$|x-3|$[/tex]
Tutti e tre con lo stesso insieme, ragionando allo stesso modo di |x| dovrebbero avere tutti infiniti punti di minimo, invece solo 1 li ha, mentre il 2 e il 3 lo hanno soltanto uno! Che differenza c'è?

si possono trattare allo stesso modo...ragionando con le curve/linee di livello...ti consiglio anche di fare un disegno delle 4 funzioni nel piano z-x

allego qui lo svolgimento secondo questo criterio

[GIMUSI]

Funzione: [tex]$f (x, y)=2^{x^2+y^2}$[/tex]

Relazione: [tex]$x^4+2y^4=6$[/tex]

I massimi li ho trovati, i minimi non so come fare. O meglio, dai punti che trovo svolgendo il sistema, escono tutti massimi (valore 8, quantità 4). Ovviamente dico che sono massimi perché ho visto la soluzione. Del valore minimo ([tex]2^{\sqrt{3}}[/tex]) non ne vedo neanche l'ombra
Qualcuni sa consigliarmi? Grazie

allego un possibile svolgimento con lagrange

[Massimo Gobbino]

Aggiungo solo una piccola osservazione che talvolta semplifica la vita.

Visto che la funzione [tex]2^x[/tex] è strettamente crescente, cercare massimo e minimo di [tex]2^{f(x,y)}[/tex] è equivalente a cercare massimi e minimi della sola [tex]f(x,y)[/tex].

[andi]

Si ok! Ma adesso qual'è la differenza tra:
1) [tex]$|x-1|$[/tex]
2) [tex]$|x-2|$[/tex]
3) [tex]$|x-3|$[/tex]
Tutti e tre con lo stesso insieme, ragionando allo stesso modo di |x| dovrebbero avere tutti infiniti punti di minimo, invece solo 1 li ha, mentre il 2 e il 3 lo hanno soltanto uno! Che differenza c'è?

si possono trattare allo stesso modo...ragionando con le curve/linee di livello...ti consiglio anche di fare un disegno delle 4 funzioni nel piano z-x

allego qui lo svolgimento secondo questo criterio

Ho capito! Grazie mille ancora!

[volm92]

Buonasera, non riesco a capire il seguente esercizio:
Funzione: [tex]$f (x, y)=x^2+y^2$[/tex]
Relazione: [tex]$x^2+y^2 \leq 3 - xy$[/tex]

Mi viene uno stazionario interno nel punto [tex]P_1=(0,0)[/tex]

Il primo sistema viene [tex]-3=0[/tex] ergo non ha soluzione.

Il secondo sistema mi viene così:
[tex]\[\Bigg\{\begin {array}{l}
2x=\lambda(2x+y)\\
2y=\lambda (2y+x)\\
\Phi=0
\end {array} =\Bigg\{\begin {array}{l}
y*2x=\lambda(2x+y)*y\\
x*2y=\lambda (2y+x)*x\\
\Phi=0
\end {array}\][/tex]
Eguaglio la prima e la seconda equazione:
[tex]\not\lambda (2x+y)*y=\not\lambda (2y+x)*x[/tex]
e quindi [tex]x^2=y^2[/tex].
Vado a sostituire in [tex]\Phi[/tex] e trovo x e quindi y che mi vengono [tex]\pm1[/tex].
Sostituendo nella funzione trovo che il max è 2 in 4 punti: [tex](\pm1,\pm1)[/tex] e di conseguenza come minimo prendo 0 in [tex](0,0)[/tex] (lo stazionario interno).

Dove sbaglio? Grazie

[GIMUSI]

mi pare che il problema sia qui

e quindi [tex]x^2=y^2[/tex]
Vado a sostituire in [tex]\Phi[/tex] e trovo x e quindi y che mi vengono [tex]\pm1[/tex]

dalla condizione [tex]x^2=y^2[/tex] si deduce che [tex]y=\pm x[/tex]...mi pare che tu abbia considerato solo il caso [tex]y=x[/tex] perdendo due punti

allego un possibile svolgimento...il bordo del dominio è un'ellisse ruotata di 45° (da ciò si possono dedurre con le curve di livello i punti di massimo)...lo studio del bordo con lagrange, a parte il passaggio incriminato, coincide con il tuo

[volm92]

mi pare che il problema sia qui

e quindi [tex]x^2=y^2[/tex]
Vado a sostituire in [tex]\Phi[/tex] e trovo x e quindi y che mi vengono [tex]\pm1[/tex]

dalla condizione [tex]x^2=y^2[/tex] si deduce che [tex]y=\pm x[/tex]...mi pare che tu abbia considerato solo il caso [tex]y=x[/tex] perdendo due punti

allego un possibile svolgimento...il bordo del dominio è un'ellisse ruotata di 45° (da ciò si possono dedurre con le curve di livello i punti di massimo)...lo studio del bordo con lagrange, a parte il passaggio incriminato, coincide con il tuo

NooOooOoo
Ho capito, grazie mille u.u

[Massimo Gobbino]

il bordo del dominio è un'ellisse ruotata di 45°

Aggiungo solo un paio di osservazioni.

• Per la parte di analisi non serve capire che si tratta di un'ellisse ruotata. Basta sapere che è un insieme limitato, cosa deducibile in tanti modi, ad esempio completando i quadrati.
• Se uno vuole capire di cosa si tratta, il metodo più veloce è forse questo: si tratta di un'ellisse in quanto la forma quadratica è definita positiva; gli assi corrispondono agli autospazi della matrice associata e per verifica diretta se vede che (1,1) è autovalore, dunque l'altro è per forza (1,-1) (perché?).

[GIMUSI]

l'ho voluto fare con le isometrie...solo dopo mi è venuto in mente che l'interpretazione come forma quadratica potesse essere più conveniente...

l'altro è (1,-1) per il T.S.

[GIMUSI]

• Per la parte di analisi non serve capire che si tratta di un'ellisse ruotata. Basta sapere che è un insieme limitato, cosa deducibile in tanti modi, ad esempio completando i quadrati.

se ho capito bene, con il completamento dei quadrati si deve mostrare che

[tex]x^2+y^2+xy=(x+y/2)^2+3y^2/4 \le 3[/tex]

preso [tex]y=kx[/tex] risulta

[tex](x+kx/2)^2+3(kx)^2/4 = x^2[(1+k/2)^2+3k^2/4] \le 3[/tex]

e quindi

[tex]x^2 \le 3/[(1+k/2)^2+3k^2/4][/tex]

mentre per [tex]x=0[/tex]

[tex]y^2 \le 3[/tex]

[Massimo Gobbino]

Nonono, così non va bene, perché la stima su x dipende da k e tutto il ragionamento è "troppo sulle rette", cosa pericolosissima in analisi 2.

Più semplicemente, dopo aver completato i quadrati si deduce subito che [tex]y^2\leq 4[/tex], il che dà la limitazione di y, cioè volendo essere espliciti

[tex]-2\leq y\leq 2[/tex].

A quel punto, guardando l'altro termine, si ottiene che [tex](x+y/2)^2\leq 3[/tex], quindi x+y/2 è limitato, ma sapendo già che y è limitato, anche x lo deve essere. Volendo essere espliciti

[tex]x+y/2\leq\sqrt{3}[/tex], quindi [tex]x\leq\sqrt{3}-y/2\leq\sqrt{3}+1[/tex]

e dall'altra parte

[tex]x+y/2\geq-\sqrt{3}[/tex], quindi [tex]x\leq\sqrt{3}-y/2\geq-\sqrt{3}-1[/tex].