Scritti d'esame 2020

[Massimo Gobbino]

Qui di sotto i testi degli scritti.

[Massimo Gobbino]

E qui, con geologico ritardo e dubbia utilità, alcune tracce di soluzioni. Ricordo che se uno vuole davvero imparare deve postare e discutere le proprie soluzioni, invece di leggersi le mie.

[g.delsarto2]

prova soluzioni.pdf

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Ciao a tutti!
Ho scritto le soluzione per i primi due esercizi del primo appello, le posto in allegato. Naturalmente non sono sicuro che siano corrette, ed anzi potrebbero contenere degli errori. Qualsiasi correzione o suggerimento è molto apprezzato

[g.delsarto2]

Ciao!
Io posto le mie soluzioni dei primi due esercizi del secondo appello. Purtroppo l'idea di soluzione del punto (b) del secondo esercizio non porta a rispondere completamente alla richiesta dell'esercizio. Tutti i suggerimenti e le correzioni sono apprezzati

[Lorececco]

Per il punto b), se la funzione assume il valore 1 in un punto - diciamo partendo da sotto - non può più scendere perché la derivata da quel punto in poi è sempre non negativa... ed è impossibile tornare a valere \(a = u(2020)\)

[stefanini.m]

l'idea del troncamento é buona secondo me, ti basta dire che se la u arriva 1 in un certo x0 da li in poi le conviene restarci e quindi non riscenderebbe mai fino ad a.

[g.delsarto2]

Giusto! Grazie ad entrambi!!!

[Lorececco]

Riguardo invece all'esercizio 3 c'è una cosa che mi ha turbato per un po' di tempo (con conseguente non risoluzione dell'esercizio ): chi mi garantisce l'esistenza di successioni "suppizzanti"?
Mi spiego meglio. Prendiamo ad esempio la prima domanda: vogliamo trovare condizioni per far sì che \(S(p)\in\mathbb R\). Ora il procedimento naturale è: ci mettiamo in \(W^{1,p}\) e cerchiamo il minimo \(p\) per cui valga l'immersione in \(L^5\) (per quelli più grandi è ancora più facile). A questo punto uno vorrebbe ricondursi a \(C^\infty\) con un discorso del tipo: prendo una successione suppizzante là dentro a valori finiti, queste funzioni hanno momento quinto, dunque p-esimo, dunque stanno in \(W^{1,p}\) e ho finito. Ma se invece l'insieme dei valori assunti da \(\int_B u^5\) con quei vincoli fosse una cosa del tipo \((a,b)\cup\{+\infty\}\)? In questo caso non saprei come concludere. Come si dimostra che questa cosa bizzarra non accade, rispettando i vincoli?

[g.delsarto2]

Ciao Scusa, forse non ho capito bene la tua domanda, ma nel punto (a) perché cerchi una successione "suppizzante"? Dopo che hai dimostrato che quel sup è finito secondo me non c'è bisogno di esibire la successione. Posso anche aver preso un abbaglio

[Lorececco]

Perché ho dimostrato la tesi per quelle in \(W^{1,p}\), che però non contiene \(C^\infty\) ma magari sto dicendo una sciocchezza eh!
Con \(C_c^\infty\) sarebbe stato tutto giustificato invece

[g.delsarto2]

mmh, ora ho capito il tuo dubbio, ci penso

[Massimo Gobbino]

Perché ho dimostrato la tesi per quelle in \(W^{1,p}\), che però non contiene \(C^\infty\)

Formalmente non hai torto, ma è un problema che si supera facilmente. Se u sta in \(C^\infty\), e l'integrale di u e quello del gradiente di u alla p sono finiti, allora u sta in \(W^{1,p}\). Per dimostrarlo basta applicare PSW su tutte le sottopalline e poi passare i raggi al limite.

Il fatto che quel sup sia un max se ci mettiamo in \(W^{1,p}\) è vero, ma un briciolo seccante, motivo per cui alla fine non ho messo quella domanda, che avrei tanto voluto mettere.

Già che ci sono, cito quella che nella prima versione era l'ultima domanda (che poi ho sostituito nel vano tentativo di facilitare il compito), e cioè determinare il limite di \(S(p)\) per \(p\to +\infty\). Questa sarebbe stata un esercizio molto istruttivo.

L'esercizio 3 dobbiamo ancora correggerlo, ma prima o poi dovrò fare un post con tutto lo sconcerto derivante dalla correzione del 2

[stefanini.m]

Dato che ci sono posto la mia soluzione dell'esercizio 4 del secondo appello. Spero nel punto d di aver chiarito bene tutti i passaggi.

EDIT: non mi aveva compilato l'ultimo pezzo. ho caricato il file aggiornato.

[stefanini.m]

Secondo me fai prima a esibire direttamente una u che funziona. Provo a darti un int: cerca una funzione radiale tipo \(u(x)=\frac{c}{|x|^\alpha}+d\). Buon lavoro nel sistemare l'esponente in modo che stia in \(\mathcal{W}^{1,p}\) ma non in \(\mathcal{L}^5\). c e d li usi per sistemare le condizioni al bordo. Ti faccio anche notare che c viene necessariamente positivo e questo ti aiuta ad avere più infinito.

[Giovanni Bruno]

Dubbio sul punto B dell'esercizio 3 del secondo appello, ho pensato ad una soluzione simile:
Prendo un p in modo tale che \(W^{1,p}\) non si immerge in \(L^5\), allora esiste una funzione \(f\) che ha norma p finita ma norma 5 infinita (Qualcuno che mi può dare un esempio di una tale funzione?). Ora questa \(f\) non necessariamente sta in \(C^{\infty}\) però posso approsimmare deluxe e trovo \(u_n\) in \(C^{\infty}_c\) che tende in norma p alla funzione, ora posso aggiungere costanti e moltiplicare per coefficienti in modo che la successione rispetti i vincoli. La convergenza p implica puntuale quasi ovunque quindi \(u_n^5\) tende puntualmente a \(f^5\). Da qui concluderei con il lemma di Fatou. Questo ragionamento però non mi convince, qualcuno che può aiutarmi?