Composizione di funzioni

[Alessandro]

Buongiorno professore, stavo seguendo la lezione sulla definizione di funzione e la composizione di funzioni da remoto e stavo provando come esercizio a dare a quest’ultima una definizione formale.
Qualcosa ho tirato fuori, solo ho qualche dubbi sulla correttezza logica di tale funzione e sopratutto sulla sua efficacia visto che mi sembra eccessivamente lunga.
Potrebbe consigliarmi un modo per migliorarla?
Allego qui sotto una foto:

[Alessandro]

Sull’immagine ho sbagliato a scrivere l’ultimo pezzo non che collega B con A ma B con C

[Massimo Gobbino]

Occhio, il disegno in fondo non va bene, o per lo meno la sua metà destra non rappresenta una funzione da B a C. Infatti, per avere una funzione da B a C, deve partire esattamente una freccia da ogni elemento di B.
Non capisco poi cosa vorrebbe essere quella formula enorme all'inizio (un insieme? una proposizione? un predicato?). Così come è scritta mi pare che non abbia nessun senso.
La definizione formale di composizione è quella a metà della pagina 2 della Lezione 3 di quest'anno.

[Alessandro]

La ringrazio della risposta.
Ho visto anche la lezione di quest’anno sulle funzioni in cui è proprio scritta la definizione di funzione composta, in questo modo ho corretto gli errori, solamente ho un dubbio:

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All’inizio vengono definite le coppie di Gf e Gg come sottoinsiemi del prodotto cartesiano, ma nella definizione di funzione composta sarebbe meglio specificare che l’elemento b appartiene all’insieme B oppure è superfluo?
Infine ho provato a scrivere un’altra definizione sia per le funzioni che per le funzioni composte e volevo chiederle se le trova corrette:
-Questa è la definizione di funzione vista come insieme per proprietà, in realtà è praticamente identica a quella scritta nel pdf solamente volevo capire se scritti dopo il tale che i quantificatori vanno bene:

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-Mentre quest’altra è la definizione di funzione composta:

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[Massimo Gobbino]

Ho visto anche la lezione di quest’anno sulle funzioni in cui è proprio scritta la definizione di funzione composta, in questo modo ho corretto gli errori, solamente ho un dubbio:

La terza riga della prima immagine, quella che dovrebbe/vorrebbe essere il grafico della composizione, non ha nessun senso, perché dopo i due punti si parla di un b che non è stato quantificato. La corrispondete formula scritta a lezione è diversa.

-Questa è la definizione di funzione vista come insieme per proprietà, in realtà è praticamente identica a quella scritta nel pdf solamente volevo capire se scritti dopo il tale che i quantificatori vanno bene:

Anche la formula contenuta nella seconda immagine non ha nessun senso, perché in quella che dovrebbe essere la proprietà dopo i due punti ci sono solo dei quantificatori ma non il predicato. Inoltre quando uno definisce la funzione come grafico la "funzione f non c'è ancora". La definizione corretta è la seguente:

un sottoinsieme \(G\subseteq A\times B\) è una funzione se e solo se

\(\forall a\in A\ \exists!\ b\in B\ :\ (a,b)\in G\)

A posteriori la funzione f diventa quella che ad ogni a associa l'unico b corrispondente.

-Mentre quest’altra è la definizione di funzione composta:

La formula della terza immagine cosa vorrebbe essere? Una definizione della composizione? Ora, la composizione è un insieme. Quella scritta non è una presentazione per elenco e nemmeno per proprietà. Che tipo di presentazione vorrebbe essere? Si capisce davvero poco.

[Alessandro]

Ah ok, stavo utilizzando i quantificatori in modo del tutto sbagliato.
L’ultima immagine sarebbe dovuta essere un tentativo, alquanto maldestro, di definire la funzione composta utilizzando solamente le coppie presenti nell’insieme del grafico della prima funzione e quelle del grafico della seconda.
Adesso con le correzioni il tutto mi è più chiaro, grazie.