CDV, foglio 19: non trovo un controesempio

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Esercizio pag 125.pdf

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lo svolgimento di un esercizio che stavo sbagliando in pieno. Ho precisato dove me ne sono resa conto e ho cercato di correggermi strada facendo. Vorrei trovare un controesempio, ma non ci sto riuscendo. Alla fine c'è un ragionamento "a occhio" in cui spiego perché non riesco a trovarlo (e il fatto che non mi sembrasse così assurdo che un minimo potesse esistere). Cerco suggerimenti su come affrontare la ricerca di controesempi

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L'idea è rimuovere la condizione che ci fa perdere esistenza di soluzione nel sistema con la ELE in forma differenziale, trovarne la soluzione e usarla per costruire una successione infizzante. A questo punto vale l'uguaglianza \(\min\{F_3(u): u\in \mathbb{X}\}=\inf\{F(u):u\in\mathbb{X}, u'(1)=3\}\), dove \(\mathbb{X}=\{u\in C^1(0,2):u(0)=3 \}\).