Algebra Lineare 2015 - Scritto 2

[Massimo Gobbino]

Ecco il secondo appello, con qualche cenno di soluzione (spero più che sufficiente per chi conosce l'argomento). Valgono le solite raccomandazioni di sempre sulla scarsa utilità delle *mie* soluzioni.

[thegmg]

Salve professore, una domanda relativa all'esercizio 3: dire che la matrice che rappresenta l'applicazione lineare dalla canonica alla canonica è simmetrica è sufficiente per asserire che la matrice è diagonalizzabile?

[GIMUSI]

Salve professore, una domanda relativa all'esercizio 3: dire che la matrice che rappresenta l'applicazione lineare dalla canonica alla canonica è simmetrica è sufficiente per asserire che la matrice è diagonalizzabile?

se non ricordo male...per il teorema spettrale...non solo è diagonalizzabile ma lo è nel modo più bello...ammette cioè una base di autovettori ortogonale

[thegmg]

Salve professore, una domanda relativa all'esercizio 3: dire che la matrice che rappresenta l'applicazione lineare dalla canonica alla canonica è simmetrica è sufficiente per asserire che la matrice è diagonalizzabile?

se non ricordo male...per il teorema spettrale...non solo è diagonalizzabile ma lo è nel modo più bello...ammette cioè una base di autovettori ortogonale

Esatto, quindi penso che come dimostrazione (dato che chiedeva di dimostrare la diagonalizzabilità o meno) vada bene!

[GIMUSI]

...Esatto, quindi penso che come dimostrazione (dato che chiedeva di dimostrare la diagonalizzabilità o meno) vada bene!

non ho letto il testo...ma direi proprio di sì...una matrice reale simmetrica è bellissimamente diagonalizzabile

PS sui complessi mi pare valga lo stesso risultato, ma in quel caso si parla di matrici hermitiane (http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_hermitiana)

[thegmg]

...Esatto, quindi penso che come dimostrazione (dato che chiedeva di dimostrare la diagonalizzabilità o meno) vada bene!

non ho letto il testo...ma direi proprio di sì...una matrice reale simmetrica è bellissimamente diagonalizzabile

[Massimo Gobbino]

PS sui complessi mi pare valga lo stesso risultato, ma in quel caso si parla di matrici hermitiane (http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_hermitiana)

Mi ero perso questa discussione. Sui complessi vale molto di più.

Sui reali una matrice A è diagonalizzabile tramite matrice M ortogonale (cioè inversa = trasposta) se e solo se A è simmetrica (teorema spettrale).

Quando si passa sui complessi, la trasposta viene sostituita dalla trasposta coniugata (cioè fare la trasposta e poi coniugare tutti gli elementi). Il teorema spettrale diventa molto più generale: una matrice A a coefficienti complessi è diagonalizzabile mediante una matrice M unitaria (l'equivalente complesso delle ortogonali, cioè inversa = trasposta coniugata) se e solo se A è normale (cioè commuta con la sua trasposta coniugata).

Ovviamente questo vale anche in particolare se A è reale, nel senso che una matrice reale che commuta con la sua trasposta (il coniugato è inutile in questo caso) è diagonalizzabile *sui complessi* mediante una matrice M unitaria (diagonalizzabilità di lusso sui complessi). Esempi di matrici normali reali sono le matrici simmetriche e quelle antisimmetriche, ma non solo.