Errori nelle risposte. Esercizi di Analisi Matematica II

[ghisi]

"Poterebbero" esserci errori nei seguenti esercizi:

- Integrali doppi 6: la risposta dell'esercizio nella quintultima riga, prima colonna.
- Solidi di Rotazione 1: le risposte sulle aree delle superfici righe 3 e 7.

Aspetto da voi le risposte corrette: quando tre di voi concorderanno su una risposta vi diro' se e' corretta o meno, ma non prima!

[volm92]

Buonasera,
sicuramente sbaglio io, ma il baricentro del solido generato dalla rotazione intorno a z della figura:
[tex]0\leq y \leq 1[/tex]
[tex]0\leq z \leq y^2[/tex]
a me viene [tex](0,0,\frac {2}{3})[/tex] mentre nei risultati vi è scritto [tex](0,0,\frac {1}{3})[/tex].
Qualcuno può illuminarmi?
Grazie!

P.s. Esercizio n5 della scheda "Solidi di Rotazione 1"

[volm92]

Altro esercizio, cioè il numero 11 della suddetta scheda:

L'area a me risulta [tex]\frac {\pi}{3}[/tex] nei risultati invece [tex]\pi[/tex].

Figura:
[tex]0\leq y \leq1[/tex]
[tex]0\leq z+y \leq1[/tex]

Inoltre il baricentro del solido risulta negativo. A me risulta positivo e di valore diverso.
Dove sbaglio?

[GIMUSI]

Buonasera,
sicuramente sbaglio io, ma il baricentro del solido generato dalla rotazione intorno a z della figura:
[tex]0\leq y \leq 1[/tex]
[tex]0\leq z \leq y^2[/tex]
a me viene [tex](0,0,\frac {2}{3})[/tex] mentre nei risultati vi è scritto [tex](0,0,\frac {1}{3})[/tex].
Qualcuno può illuminarmi?
Grazie!

P.s. Esercizio n5 della scheda "Solidi di Rotazione 1"

anch'io ritrovo i tuoi risultati

[GIMUSI]

Altro esercizio, cioè il numero 11 della suddetta scheda:

L'area a me risulta [tex]\frac {\pi}{3}[/tex] nei risultati invece [tex]\pi[/tex].

Figura:
[tex]0\leq y \leq1[/tex]
[tex]0\leq z+y \leq1[/tex]

Inoltre il baricentro del solido risulta negativo. A me risulta positivo e di valore diverso.
Dove sbaglio?

in questo caso trovo: volume [tex]\frac {\pi}{3}[/tex] e baricentro [tex]z_G=1/4[/tex]

[volm92]

Per quanto riguarda, invece, la superficie "probabilmente sbagliata" dell'esercizio numero 3 a me viene: [tex]\frac{68}{3}\pi[/tex]

In allegato lo svolgimento (scusate la pessima scrittura )

[andi]

Anche a me è venuto uguale!

[GIMUSI]

Per quanto riguarda, invece, la superficie "probabilmente sbagliata" dell'esercizio numero 3 a me viene: [tex]\frac{68}{3}\pi[/tex]

In allegato lo svolgimento (scusate la pessima scrittura )

c'è qualcosa che non mi torna...

per il triangolo dovrebbe risultare:

[tex]y_G = 2/3[/tex]

visto che si tratta di un cono con raggio di base 2 e altezza 2 dovrebbe risultare:

[tex]V=1/3 *A*h = 4\pi/3[/tex]

e la superficie laterale (per guldino):

[tex]S_l = 2\pi*2\sqrt2=4\pi \sqrt2[/tex]

[tex]S_t_o_t = S_b + S_l = 4\pi + 4\pi \sqrt2 = 4\pi (1+\sqrt2)[/tex]

[volm92]

Per quanto riguarda, invece, la superficie "probabilmente sbagliata" dell'esercizio numero 3 a me viene: [tex]\frac{68}{3}\pi[/tex]

In allegato lo svolgimento (scusate la pessima scrittura )

c'è qualcosa che non mi torna...

per il triangolo dovrebbe risultare:

[tex]y_G = 2/3[/tex]

visto che si tratta di un cono con raggio di base 2 e altezza 2 dovrebbe risultare:

[tex]V=1/3 *A*h = 4\pi/3[/tex]

e la superficie laterale (per guldino):

[tex]S_l = 2\pi*2\sqrt2=4\pi \sqrt2[/tex]

[tex]S_t_o_t = S_b + S_l = 4\pi + 4\pi \sqrt2 = 4\pi (1+\sqrt2)[/tex]

Se l'asse di rotazione fosse Y allora si che verrebbe un cono, ma in questo esercizio l'asse di rotazione è l'asse X..
O sbaglio?

[GIMUSI]

...Se l'asse di rotazione fosse Y allora si che verrebbe un cono, ma in questo esercizio l'asse di rotazione è l'asse X..
O sbaglio?

a beh ecco

[GIMUSI]

...Se l'asse di rotazione fosse Y allora si che verrebbe un cono, ma in questo esercizio l'asse di rotazione è l'asse X..
O sbaglio?

a beh ecco

però la superficie laterale per guldino dovrebbe essere:

superficie laterale verticale: [tex]S_1 =4\pi*2=8\pi[/tex]

superficie laterale inclinata: [tex]S_2 =2\pi*2\sqrt2=4\pi\sqrt2[/tex]

superficie base (lato su asse y): [tex]S_3 =4\pi[/tex]

[GIMUSI]

...In allegato lo svolgimento (scusate la pessima scrittura )

ti sei munito anche tu di tavoletta?...benvenuto nel club...all'inizio non è facile ma con un po' di pratica la scrittura migliora molto...e si crea tanta carta in meno...puoi correggere eventuali errori...inoltre se utilizzi windows journal ci sono alcune funzioni per rettificare le linee e regolarizzare rettangolo e cerchi

[volm92]

...In allegato lo svolgimento (scusate la pessima scrittura )

ti sei munito anche tu di tavoletta?...benvenuto nel club...all'inizio non è facile ma con un po' di pratica la scrittura migliora molto...e si crea tanta carta in meno...puoi correggere eventuali errori...inoltre se utilizzi windows journal ci sono alcune funzioni per rettificare le linee e regolarizzare rettangolo e cerchi

Si! Mi sono munito anche io di tavoletta è arrivata oggi, ed ora sperimento!

Tornando all'esercizio:
Ma secondo te, calcolare l'area usando le coordinate polari sferiche, come ho fatto io, perché è sbagliato?

Comunque ruotando la nostra area, si viene a creare una specie di "stampino" per un cono (per rendere l'idea).
Dunque la nostra superficie laterale inclinata coincide con la superficie laterale del cono che ha come raggio 2 e altezza 2.

Di conseguenza [tex]S_{l-cono}=\pi r a[/tex] dove r=raggio e [tex]a=\sqrt{h^2+r^2}.[/tex]

Quindi, in teoria, [tex]S_{l-cono}=2\pi \sqrt8[/tex]

E [tex]S_{tot}=\pi(12+2\sqrt8)[/tex]

Torna? (MODIFICATO E CORRETTO)

[GIMUSI]

...
Ma secondo te, calcolare l'area usando le coordinate polari sferiche, come ho fatto io, perché è sbagliato?...
Torna?

non dico che sia sbagliato...non ho avuto modo di guardare per bene i conti che hai fatto...mi pareva che con un confronto con guldino il risultato non tornasse...ma può darsi che mi sbagli...più tardi ci riguardo meglio

[volm92]

...
Ma secondo te, calcolare l'area usando le coordinate polari sferiche, come ho fatto io, perché è sbagliato?...
Torna?

non dico che sia sbagliato...non ho avuto modo di guardare per bene i conti che hai fatto...mi pareva che con un confronto con guldino il risultato non tornasse...ma può darsi che mi sbagli...più tardi ci riguardo meglio

Va bene, grazie a più tardi