Solidi di rotazione

[GIMUSI]

Ho una domanda su questi due esercizi, come faccio a farli con la formula diretta? con Guldino mi tornano, ma nell'altro modo no

Calcolare il volume dei solidi di rotazione:

[tex]1)[/tex] Figura: [tex]\{0 \leq x \leq \pi , 0 \leq y \leq xsin(x) \}[/tex] rotazione intorno a [tex]x[/tex]


[tex]2)[/tex] Figura: [tex]\{0 \leq x \leq \pi , 0 \leq y \leq xsin(x) \}[/tex] rotazione intorno a [tex]y[/tex]

allego un possibile svolgimento

[Gabe]

Il secondo l'hai calcolato con guldino giusto?

[GIMUSI]

Il secondo l'hai calcolato con guldino giusto?

no...con i gusci cilindrici

[Gabe]

e se lo volessi fare con la formula diretta?

[GIMUSI]

e se lo volessi fare con la formula diretta?

con la formula diretta mi pare dura perché dovresti scrivere x=f(y) che mi pare molto complicato...magari si può fare ma non saprei come...coi gusci mi pare molto più semplice

[ghisi]

A volte può essere utile ricordare che Il teorema di Guldino si può anche enunciare in questo modo:

se [tex]V[/tex] si ottiene da una rotazione intorno all'asse [tex]z[/tex] del dominio [tex]D[/tex] del piano [tex]yz[/tex] allora

[tex]Volume(V) = 2\pi \displaystyle \int_D y \, dy\, dz.[/tex]

A questo punto si tratta di fare solo un integrale doppio (ovviamente se cambiano gli assi di rotazione o il piano in cui si trova [tex]D[/tex] cambia la variabile da integrare).

[Gabe]

Consideriamo il solido di rotazione che viene fuori ruotando attorno all'asse [tex]y[/tex] il triangolo del piano [tex]yz[/tex] con vertici in [tex](0, 0), (1, 1), (0, 2)[/tex],

se volessi calcolare la coordinata [tex]y_G[/tex] del baricentro del solido con [tex]\frac{1}{Vol(S)}[/tex][tex]\iiint_S y dxdydz[/tex], come potrei fare?

[GIMUSI]

Consideriamo il solido di rotazione che viene fuori ruotando attorno all'asse [tex]y[/tex] il triangolo del piano [tex]yz[/tex] con vertici in [tex](0, 0), (1, 1), (0, 2)[/tex],

se volessi calcolare la coordinata [tex]y_G[/tex] del baricentro del solido con [tex]\frac{1}{Vol(S)}[/tex][tex]\iiint_S y dxdydz[/tex], come potrei fare?

proprio con l'integrale che hai indicato

allego lo svolgimento con vari metodi

un'osservazione: mi pare che in generale il baricentro dei solidi di rotazione non coincida con quello della figura che li genera (ad esempio per un cono è a 1/4 H dalla base e non a 1/3 H); in questo caso però accade proprio così ma non saprei se è solo un caso o se c'è qualche semplice ragione che lo giustifichi

[Gabe]

Ok come hai fatto te mi torna anche a me, solo che sono rimasto spiazzato quando nell'aiutino c'era scritto di risolvere: [tex]y_G=\frac{1}{2\pi}[/tex][tex]2\pi\int_T y z dy dz[/tex] dove con [tex]T[/tex] si intende la figura, che proprio non riesco a capire da dove venga fuori

un'osservazione: mi pare che in generale il baricentro dei solidi di rotazione non coincida con quello della figura che li genera (ad esempio per un cono è a 1/4 H dalla base e non a 1/3 H); in questo caso però accade proprio così ma non saprei se è solo un caso o se c'è qualche semplice ragione che lo giustifichi

Si me ne ero reso conto anch'io, aspettiamo delucidazioni

[ghisi]

Si tratta di una formula che di solito viene fatta a lezione, ma che in ogni caso è facile da ricavare.

Partiamo da Guldino:

[tex]D[/tex] dominio del piano [tex]yz[/tex] ruotato intorno all'asse [tex]z[/tex] (rotazione completa). Se scrivete il solido in coordinate cilindriche con asse [tex]z[/tex] un possibile cambio di variabili diventa [tex]x = \rho \cos \theta[/tex], [tex]y = \rho \sin \theta[/tex], [tex]z = u[/tex]; dove [tex]0\leq \theta \leq 2\pi[/tex] e [tex](\rho, u) \in D_\rho[/tex]. Il dominio [tex]D_\rho[/tex] è sostanzialmente [tex]D[/tex] pensato nelle nuove coordinate ([tex]\rho[/tex] è la distanza dall'asse di rotazione che quando si prende [tex]x = 0[/tex] coincide con [tex]y[/tex]). A questo punto

[tex]Vol(V) = 2\pi\int_{D_\rho}\rho \, d\rho \, du[/tex]

che si può riscrivere (solo ricordando chi sono le variabili) come

[tex]2\pi\int_{D}y \, dy \, dz .[/tex]

Se adesso vogliamo la [tex]z[/tex] del baricentro, procedendo allo stesso modo si trova

[tex]\displaystyle \frac{ 2\pi }{vol(V)}\displaystyle \int_{D}y z \, dy \, dz.[/tex]

Ovviamente cambiando l'asse di rotazione e/o il piano del dominio che si ruota cambiano le variabili coinvolte. Questo però funziona bene solo se si vuole la coordinata del baricentro rispetto all'asse di rotazione...

NB Se si vogliono le altre coordinate del baricentro e la rotazione non è completa bisogna fare attenzione al modo di scegliere il cambio di variabili...