Buongiorno professore, scusi per il ritardo, ma non avevo visto che avesse risposto...
Comunque, continuando a pensarci, forse ho trovato una soluzione, gliela mostro:
\(\displaystyle\frac{\log{(x^2+e^{|x|+|y|})}}{x^2y^2+|x|+|y|} = \frac{\log{(e^{|x|+|y|}(1+x^2e^{-|x|-|y|})})}{x^2y^2+|x|+|y|} = \frac{|x|+|y|}{x^2y^2+|x|+|y|} + \frac{\log{(1+x^2e^{-(|x|+|y|)})}}{x^2y^2+|x|+|y|}\).
Adesso,
\(x^2e^{-|x|-|y|}\) è definitivamente
\(\le 1\), quindi abbiamo:
\(\displaystyle\lim_{x^2 + y^2 \to +\infty}\frac{\log{(x^2+e^{|x|+|y|})}}{x^2y^2+|x|+|y|} = \lim_{x^2 + y^2 \to +\infty}\frac{|x|+|y|}{x^2y^2+|x|+|y|} + \lim_{x^2 + y^2 \to +\infty}\frac{\log{(2)}}{x^2y^2+|x|+|y|}\).
Il secondo limite, tende a zero: infatti
\({denominatore} \to +\infty\): somma di termini positivi di cui almeno uno è illimitato.
Invece per il primo limite: inizialmente pensavo ad una cosa del tipo:
\(|x|+|y| \le x^2y^2\); ma poi ho pensato anche: in
\(\Bbb D\) \(|x|+|y| = x + y\), e
\((x-1)(y-1) \ge 0\) da cui
\(xy + 1 \ge x + y\), ma abbiamo anche
\(xy \ge 1\) da cui abbiamo la catena di disuguaglianze:
\(x+y \le xy +1 \le xy + xy = 2xy\). Infine otteniamo:
\(\displaystyle\frac{|x|+|y|}{x^2y^2+|x|+|y|} \le \frac{2xy}{x^2y^2} = \frac{2}{xy}\)
e quest'ultimo tende a zero; infatti
\({denominatore} \to +\infty\) poiché alla peggio
\(|x| o |y| \to +\infty\) e l'altra resta
\(\ge 1\).
Potrebbe andare bene come svolgimento?
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