Scritti d'esame 2019

[gino]

Per la seconda domanda direi di sì nel senso che sia la forte \(L^{27}\) che la debole \(L^{34}\) implicano la debole \(L^{27}\) (la debole \(L^{34}\) vuol dire che \(\int v_n \varphi \to \int v_\infty \varphi\) per ogni \(\varphi \in L^{\frac{34}{33}}\) quindi in particolare per ogni \(\varphi \in L^{\frac{27}{26}}\) che è la debole \(L^{27}\)), quindi concludo per unicità del limite debole.

(tutti i discorsi in \(\Omega\) limitato)

[Massimo Gobbino]

abbiamo trovato \(u_\infty\) che realizza il sup in \(L^3\); non vorrei che \(u_\infty \in H^1\)?

Giusto. Anche qui meglio ricorrere ad un fatto generale. Se \(u_n\to u_\infty\) in \(L^{35}\) e \(\nabla u_n\) è equi-limitato in \(L^{51}\), allora \(\nabla u_\infty\) esiste e sta in \(L^{51}\).

La tecnica è classica: estraggo una sotto-successione in modo da far convergere i gradienti debolmente a qualcosa in \(L^{51}\) (questo in realtà andrebbe fatto component-wise), e poi dimostro con il solito lemma (passaggio al limite nell'integrazione per parti) che il qualcosa è proprio il gradiente di \(u_\infty\).

[Massimo Gobbino]

Sto correggendo lo scritto di giugno, e voglio segnalare un modo standard in cui quasi tutti stanno perdendo dei punti. Le parole convessità e stretta convessità della Lagrangiana non sono la panacea di tutti i mali, ed in particolare di esistenza ed unicità. Pensiamo ai funzionali

\(F(u)=\displaystyle\int_a^b u'(x)^2\,dx,\qquad\qquad
G(u)=\displaystyle\int_a^b \left(u'(x)^2+u(x)\right)\,dx.\)

In entrambi i casi la Lagrangiana è convessa in (s,p) e strettamente convessa in p, ma senza BC nel primo caso ci sono problemi di unicità e nel secondo pure di esistenza.

Detto in termini pratici, l'unico modo per non perdere punti sulla parte di unicità è di esplicitare i conti. Quello basato sulla convessità non è un enunciato, ma un metodo, che si adatta a tanti problemi con BC diverse. Se uno dovesse scrivere un enunciato, ne dovrebbe in realtà scrivere una decina, e non ci sarebbe mai quello che serve nel caso in questione. Il metodo invece è sempre lo stesso, ma va adattato.

[gino]

Sto correggendo lo scritto di giugno, e voglio segnalare un modo standard in cui quasi tutti stanno perdendo dei punti. Le parole convessità e stretta convessità della Lagrangiana non sono la panacea di tutti i mali, ed in particolare di esistenza ed unicità..

Però se \(F\) strettamente convessa e si è trovato \(x_0\) tale che \(\delta F(x_0,v)=0\) per ogni \(v\) allora si può concludere esistenza e unicità giusto?

[Massimo Gobbino]

Però se \(F\) strettamente convessa e si è trovato \(x_0\) tale che \(\delta F(x_0,v)=0\) per ogni \(v\) allora si può concludere esistenza e unicità giusto?

Strettamente convessa in quali variabili? E se c'è pure la x come la gestiamo? Insomma, si fa prima a scrivere il passaggio chiave che a tirare fuori la versione dell'enunciato che si adatta al caso specifico.

[Massimo Gobbino]

Mi è stato segnalato che la soluzione dell'esercizio 3c del CS5 era delirante, nel senso che dimostrava tutt'altro rispetto a quanto richiesto nel testo. In effetti era vero .

Ora forse dovrebbe andare bene, ma ovviamente è meglio controllare (quel punto mi era venuto più difficile di quanto previsto). Grazie a chi ha fatto la segnalazione.

Ma davvero è sensato che ci sia voluto quasi un anno prima che qualcuno se ne accorgesse ?