Campo dei reali esteso

[maimoneg]

All'attenzione del Ch.Mo Prof. Massimo Gobbino

Solo una domanda.
Desideravo conoscere la ragione per cui è necessario introdurre il concetto di campo dei reali esteso.
Che senso ha dire: intervallo [5, R soprasegnato]?
A meno che non ci sia una differenza sostanziale (qualche esercizio particolare) per cui
infinito soltanto non basta.
In attesa di un chiarimento
Voglia gradire
Cordiali saluti.
Giuseppe Maimone

[Lorececco]

In che contesto? A quale scopo? Altrimenti è impossibile rispondere...

[Massimo Gobbino]

Anch'io in effetti non capisco cosa sia questo "infinito soprasegnato".

[maimoneg]

In che contesto? A quale scopo? Altrimenti è impossibile rispondere...

Ho sbagliato io.
Adesso la domanda è corretta.
Nuovamente
Cordiali saluti
G. Maimone

[Lorececco]

Attenzione alle parole! I reali estesi non sono un campo (nel senso di struttura algebrica, vedi ad esempio https://en.wikipedia.org/wiki/Field_(mathematics)), e non sono neanche un concetto. Nel contesto di cui parli si tratta di una semplice notazione per indicare che tra i possibili risultati di una certa operazione (immagino tu ti riferisca ai limiti) il risultato può essere \(+\infty\), e dunque in questo senso dico che un numero (risultato di un limite) appartiene a \([243289437,+\infty]\). Però attenzione: infinito NON è un numero e bisogna sempre pensarlo come risultato di un'operazione, che in realtà ha una sua definizione rigorosa che usa solo i numeri reali.
Più in avanti nello studio della matematica si può provare a dare un po' di corposità in più al concetto di infinito esteso, ma all'inizio è bene prenderlo come sopra per non rischiare di parlare del nulla

[Massimo Gobbino]

si tratta di una semplice notazione

Come dico spesso a lezione: dopo aver scritto per 3 volte un'ipotesi del tipo "supponiamo che il limite sia un numero reale, oppure che sia + infinito, oppure che sia - infinito", uno si stufa ed inizia a scrivere "supponiamo che il limite esista nei reali estesi", che è più corto e vuole dire esattamente lo stesso.

Ad esempio "se una successione ha limite nei reali estesi, allora tutte le sue sottosuccessioni hanno necessariamente lo stesso limite". In poche parole: paghi uno, prendi tre .

[maimoneg]

All'Attenzione del Ch. mo Prof Gobbino

Molte grazie.
Cordiali saluti
G. Maimone