Dubbio integrale

[M.A.L]

Sia A := {(x, y) ∈ R2 : x^2 + (x + y)^2 ≤ 4, y ≥ 0}. Calcolare integrale(|2x + y| dx dy.) Posso procedere mettendo x+y=v poi dopo aver fatto il cambio procedere con l'integrale di di |x+v| passando dunque in polari?

[M.A.L]

avrei anche il dubbio su come impostare questo integrale improprio che allego e da un po' che cerco di interpretarlo senza successo

[M.A.L]

per l'integrale improprio sono forse arrivato ad una conclusione (allegato)

[ghisi]

Sia A := {(x, y) ∈ R2 : x^2 + (x + y)^2 ≤ 4, y ≥ 0}. Calcolare integrale(|2x + y| dx dy.) Posso procedere mettendo x+y=v poi dopo aver fatto il cambio procedere con l'integrale di di |x+v| passando dunque in polari?

Si, ma occhio a cosa diventa il dominio (in particolare in cosa si traduce la condizione \(y\geq 0\)).

[ghisi]

per l'integrale improprio sono forse arrivato ad una conclusione (allegato)

No è sbagliato:

- l'integrale di \(1/y^2\) vicino a zero diverge (e l'integrale in \(y\) parte da \(0\)), dunque la tua stima non produce nulla di utile;

- se \(\alpha\) aumenta il dominio si allarga, difficile possa convergere per gli \(\alpha\) grandi e non per quelli piccoli (e quindi avresti dovuto accorgerti che il tuo modo di procedere era sbagliato);

- in ogni caso una stima dall'alto (corretta) di dice solo che per alcuni \(\alpha\) l'integrale converge, poi devi dimostrare che per i restanti diverge.

Suggerimento:

- per la stima dall'alto va bene la stima sull'arcotangente, ma poi al denominatore devi togliere \(y\);

-per la stima dal basso, basta dimostrare che nel caso \(\alpha = 1\) l'integrale diverge:

\(\displaystyle \int_{D_1} \frac{\arctan(xy)}{x^2+y^2} dx\, dy \geq \int_1^{+\infty} dx\int_1^x \frac{\arctan(1)}{x^2+x^2} dy.\)

[M.A.L]

ok grazie quindi per l'integrale devo anche dire che y≥0 dignifica posto x=v->y=u-v e quindi u≥v giusto?

[ghisi]

ok grazie quindi per l'integrale devo anche dire che y≥0 dignifica posto x=v->y=u-v e quindi u≥v giusto?

Hai cambiato nome alle variabili rispetto al precedente messaggio, comunque si, la sostanza è questa.