Passaggio da coordinate cartesiane a coordinate polari

[Federico.M]

Salve, ho il seguente esercizio da risolvere ma non riesco a venirne a capo. Devo calcolare l'integrale doppio sull'insieme \(D=[0,1]\times[0,1]\) della funzione \(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\). Data la simmetria circolare della funzione integranda, ho pensato di risolvere l'esercizio passando a coordinate polari, ma non riesco ad esprimere l'insieme dato in tali coordinate. Allora, come si osserva nella figura allegata in formato PDF, ho pensato di risolvere il problema calcolando l'integrale come differenza tra quello calcolato sullo spicchio di circonferenza delimitato dall'asse \(x\) e la bisettrice del primo quadrante meno quello calcolato sulla superficie di colore azzurro indicata con \(A\) nella figura, moltiplicato per 2 per motivi di simmetria. Ho provato ad esprimere \(A\) in coordinate polari:
\(A=\{(\rho,\theta)\in R^2\,:\,\sqrt{2}\cos(\theta)\le\rho\le\sqrt{2}\,,\,0\le\theta\le\pi/4\}\)
ma evidentemente devono esserci degli errori, perché il risultato trovato non coincide con quello indicato nel testo.
Grazie in anticipo per eventuali risposte.
P.S. : se qualcuno potesse indicarmi anche come si fa ad inserire un'immagine nel corpo del messaggio invece che come file allegato, gliene sarei veramente grato.

[GIMUSI]

Dovrebbe essere

\(A=\left\{(\rho,\theta)\in\mathbb{R}^2\,:\,\sqrt{1+\tan^2(\theta)}=\dfrac1{\cos \theta}\le\rho\le\sqrt{2},\quad 0\le\theta\le\pi/4\right\}\)

Puoi usare un metodo analogo per descrivere anche \(D\) allo stesso modo (anche se non credo che alla fine cambi molto).

[Federico.M]

Grazie per le indicazioni Gimusi. Riguardando meglio la figura e considerando triangoli simili, ho trovato anche io la stessa relazione ..

[ghisi]

Dovrebbe essere

\(A=\{(\rho,\theta)\in R^2\,:\,\sqrt{1+\tan^2(\theta)}=\frac1{\cos \theta}\le\rho\le\sqrt{2}\,,\,0\le\theta\le\pi/4\}\)

Puoi usare un metodo analogo per descrivere anche \(D\) allo stesso modo (anche se non credo che alla fine cambi molto).

Esatto!

[Federico.M]

Grazie per la conferma professoressa..