Integrale in polari senza condizioni sull'angolo di rotazione

[lRninG]

Buongiorno.
Mi ritrovo a chiedere aiuto con un nuovo integrale.. Nel frattempo ringrazio per gli aiuti nei post precedenti.

Cattura.PNG (140.08 KiB) Viewed 8002 times

Una volta passato in coordinate polari scrivo l'integrale risolutivo : \(\int_{?}^{?}[\int_{0}^{2}[\int_{1-\rho}^{1-\frac{\rho}{2}}\frac{\rho}{z+\rho} dz]d\rho]d\theta\).
Qui sorge il mio dubbio, negli altri esercizi ho sempre avuto condizioni sull'angolo theta, invece in questo caso non so sinceramente dove ricavarmi gli estremi di integrazione dell'integrale in d\(\theta\). Ringrazio anticipatamente per l'aiuto!

P.s I due integrali dentro al d\(\theta\) mi risultano 1, che va poi integrato in base all'angolo . Nel testo viene riportato invece il risultato \(2\pi\cdot (\frac{7}{4}-log(4))\).

[ghisi]

Si tratta di un solido di rotazione: il fatto che non ci siano condizioni su \(\theta\) vuol dire che si tratta di una rotazione completa, il che significa che \(\theta\) varia in \([0,2\pi]\). In altri termini se tagli il solido con piani a z fisso ottieni degli anelli. Oppure lo puoi vedere in coordinate cilindriche...

Il risultato questa volta è corretto. Sicuro di aver impostato l'integrale correttamente? Prova a disegnare il tuo insieme: in particolare se r varia in [1,2], dove varia z?

Suggerimento: prova a fare l'integrale scrivendo l'insieme come normale rispetto all'altro asse...

[lRninG]

Intanto grazie per la risposta!

Il risultato questa volta è corretto. Sicuro di aver impostato l'integrale correttamente? Prova a disegnare il tuo insieme: in particolare se r varia in [1,2], dove varia z?

Varia tra \(0\) e \(\frac{1}{2}\).

Suggerimento: prova a fare l'integrale scrivendo l'insieme come normale rispetto all'altro asse...

Ho provato a farlo rispetto all'altro asse e tutto torna:

\(\int_{0}^{2\pi}[\int_{0}^{1}[\int_{1-z}^{2-2z}\frac{\rho}{z+\rho} d\rho]dz]d\theta\).

Resta allora il dubbio, perché nell'altro caso non funziona? Non dovrebbero essere perfettamente equivalenti le due integrazioni?

Grazie ancora per l'aiuto!

[ghisi]

Intanto grazie per la risposta!

Il risultato questa volta è corretto. Sicuro di aver impostato l'integrale correttamente? Prova a disegnare il tuo insieme: in particolare se r varia in [1,2], dove varia z?

Varia tra \(0\) e \(\frac{1}{2}\).

\(z\) varia in un intervallo che dipende da \(\rho\) e non fra \(0\) e \(1/2\). In ogni caso guarda bene come hai descritto l'insieme: \(0\leq \rho \leq 2\) e \(1-\rho \leq z\leq 1 - \rho/2\). Se metti \(\rho = 3/2\) ottieni \(1 - \rho\) negativo, e quindi la tua non è una descrizione corretta dell'insieme. Se vuoi fare l'integrale come normale rispetto all'asse \(\rho\) devi spezzarlo in 2 parti.

[lRninG]

Ho rifatto il grafico alla luce del suo messaggio e ho capito perfettamente, grazie mille!