Integrale triplo molto semplice... dove sbaglio?

[lRninG]

Salve. Ho questo integrale triplo che ho svolto, senza successo.

Lascio traccia e svolgimento sperando che qualche buona anima possa illuminarmi:

Dato l'insieme \(K={(x,y,z):x^2+y^2+z^2\leq\pi, 0\leq z \leq \sqrt{x^2+y^2}, x\geq0, y\geq0}\)

Calcolare \(I=\int^{K} zsen(x^2+y^2+z^2) dV_3(x,y,z)\).

Il disegno sarebbe:



Anziché utilizzare le coordinate sferiche ho voluto provare con quelle polari:
\(I= \int \int \int_ K zr(senr^2cosz^2+cosr^2senz^2)drdzd\theta\)

Ho "calcolato" gli estremi di integrazione per via grafica, essendo molto banale.
Il primo integrale sarebbe:

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\int_{0}^{\sqrt\frac{\pi}{2}}zcosz^2(\int_{z}^{\sqrt{(\pi-z^2)}}rsenr^2dr ) dz]d\theta\)

Risolto l'integrale in dr (sapendo che l'integrale di \(rsenr^2\) è: \(\frac{-cosx^2}{2}\)), arrivo ad un risultato di circa 0,617.

Il secondo è analogo e mi risulta molto piccolo, direi trascurabile rispetto al primo..

Il risultato in realtà sarebbe: \(\frac{\pi^2}{8}\)... Non capisco dove sbaglio... idee?

Grazie anticipatamente!

[ghisi]

Il primo integrale sarebbe:

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\int_{0}^{\sqrt\frac{\pi}{2}}zcosz^2(\int_{z}^{\sqrt{(\pi-z^2)}}rsenr^2dr ) dz]d\theta\)

Risolto l'integrale in dr (sapendo che l'integrale di \(rsenr^2\) è: \(\frac{-cosx^2}{2}\)), arrivo ad un risultato di circa 0,617.

Il secondo è analogo e mi risulta molto piccolo, direi trascurabile rispetto al primo..

Il risultato in realtà sarebbe: \(\frac{\pi^2}{8}\)... Non capisco dove sbaglio... idee?

Grazie anticipatamente!

L'impostazione è corretta, ma quello che scrivi dopo sinceramente non lo capisco. Dopo aver fatto l'integrale in \(r\) ti torvi da integrare la funzione \(z\cos^2z^2\) (almeno mi pare) e questo integrale lo devi calcolare. Non si fanno integrali approssimati.... (tra l'altro c'è anche l'integrale in \(\theta\) da cui ottieni un \(\pi/2\) che moltiplica tutto).
Il passaggio alle cilindriche è corretto, ma perchè (dopo avre integrato in \(\theta\)) non riapplichi le polari?

[lRninG]

Ciao! Intanto grazie molte per la risposta..

Non ho mostrato tutti i passaggi ma ho fatto proprio come dici..

Dopo aver fatto l'integrale in \(r\) mi risulta:

\(\frac{\pi}{2}[\int_{0}^{\sqrt\frac{\pi}{2}}zcosz^2\frac{1}{2}[-cos(\pi-z^2)+cosz^2] dz]\)

Il che mi porta al risultato che ho scritto (ho provato a farlo con la calcolatrice).. non so più dove sbatter la testa ! Grazie ancora

[ghisi]

Ciao! Intanto grazie molte per la risposta..

Non ho mostrato tutti i passaggi ma ho fatto proprio come dici..

Dopo aver fatto l'integrale in \(r\) mi risulta:

\(\frac{\pi}{2}[\int_{0}^{\sqrt\frac{\pi}{2}}zcosz^2[\frac{1}{2}(-cos(\pi-z^2)+cosz^2] dz]\)

Il che mi porta al risultato che ho scritto (ho provato a farlo con la calcolatrice).. non so più dove sbatter la testa ! Grazie ancora

NON si fanno gli integrali con la calcolatrice (tra l'altro non impari nulla)! Se fai un cambio di variabili ottieni
\(\displaystyle \frac{\pi}{4} \int_0^{\pi/2} \cos^2 y \, dy\)
e l'integrale fa \(\frac{\pi}{4}.\) A questo devi aggiungere l'altro integrale che tu non stai mai considerando.

[lRninG]

Hai ragione, era solamente per verificare i calcoli ed essere sicuro che non fossero errori di calcolo, ma solo di metodo...

Infatti viene come hai scritto tu \(\frac{\pi^2}{16}\) da sommare al secondo integrale, che è analogo : \(\frac{\pi}{2}\cdot\int_{0}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}zsen(z^2)\cdot \frac{1}{2} (sen(\pi-z^2)-senz^2)\)
Il quale però mi risulta essere nullo.

[ghisi]

Hai ragione, era solamente per verificare i calcoli ed essere sicuro che non fossero errori di calcolo, ma solo di metodo...

Infatti viene come hai scritto tu \(\frac{\pi^2}{16}\) da sommare al secondo integrale, che è analogo : \(\frac{\pi}{2}\cdot\int_{0}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}zsen(z^2)\cdot \frac{1}{2} (sen(\pi-z^2)-senz^2)\)
Il quale però mi risulta essere nullo.

Si esatto, il risultato mi pare \(\pi^2/16\) (anche fatto con un metodo più semplice).

[lRninG]

Eh lo so però purtroppo il mio testo non è d'accordo

111111.PNG (219.87 KiB) Viewed 6917 times

[ghisi]

Eh lo so però purtroppo il mio testo non è d'accordo

111111.PNG

Si è dimenticato 1/2 (almeno mi pare): \(\sin^2\theta\) calcolato fra \(\pi/4\) e \(\pi/2\) fa 1/2 e non 1. Cose che capitano: comunque quello è sostanzialmente il metodo con cui lo ho fatto io.

[lRninG]

Hai ragione, si sbaglia il prof. Grazie!!!!!