Forme quadratiche 2

[savfici]

Salve a tutti, in riferimento al foglio di esercizi "Forme quadratiche 2", nel secondo esercizio si chiede, dal punto c fino alla fine, di determinare i valori di a per cui la forma quadratica risulti definita positiva/negativa/nulla su un sottospazio di dimensione 1/2.. o sul sottospazio generato da uno o più vettori specifici.

Nel secondo caso, ad esempio al punto h, dove vengono dati i due vettori (1,1,3) e (0,2,1), devo considerare il sottospazio generato dallo span di questi due vettori e dunque posso assegnare ad esempio due parametri t al primo vettore e s al secondo, ricavare le componenti x, y, z come combinazioni lineari dei due parametri ( quindi x=t, y=t+2s z=3t+s ) e sostituirle nell'equazione della forma quadratica per poi rispondere alla richiesta, trovando i valori di a?

Nel primo caso citato sopra, invece, sapendo di dover lavorare con la tecnica del completamento dei quadrati, come posso procedere utilizzando la dimensione del sottospazio richiesto?

Grazie

[Massimo Gobbino]

Il post è un po' vago ... prova a postare uno svolgimento completo di qualcosa, così ci sarà qualcosa di concreto su cui discutere.

[savfici]

Come posso procedere a questo punto?

(il riferimento è sempre all'esercizio 2, domanda "h")

[savfici]

Nessuno?

[gino]

Ti conviene calcolare la forma bilineare \(\varphi\) associata sul sottospazio alla restrizione della forma quadratica \(q(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+3axz\). Per cui in pratica posti \(v_1=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3
\end{bmatrix}\) \(v_2=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 1
\end{bmatrix}\)
Ottieni \(\varphi(v_1,v_1)=q(v_1)=1+2+27+9a=30+9a\)
\(\varphi(v_2,v_2)=q(v_2)=8+3=11\)
\(\varphi(v_1,v_2)=\varphi(v_2,v_1)=\frac{q(v_1+v_2)-(q(v_1)+q(v_2))}{2}=\frac{1+18+48+12a-(30+9a+11)}{2}=26+\frac32a\)
per cui la matrice associata è \(\begin{bmatrix} 30+9a & 26+\frac32a \\
26 + \frac32a & 11\end{bmatrix}\) che è definita positiva se e solo se (essendo una 2 per 2) traccia e determinante sono positivi e prova a fare gli ultimi conti.

[savfici]

Ti conviene calcolare la forma bilineare \(\varphi\) associata sul sottospazio alla restrizione della forma quadratica \(q(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2+3axz\). Per cui in pratica posti \(v_1=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 3
\end{bmatrix}\) \(v_2=\begin{bmatrix}
0 & 2 & 1
\end{bmatrix}\)
Ottieni \(\varphi(v_1,v_1)=q(v_1)=1+2+27+9a=30+9a\)
\(\varphi(v_2,v_2)=q(v_2)=8+3=11\)
\(\varphi(v_1,v_2)=\varphi(v_2,v_1)=\frac{q(v_1+v_2)-(q(v_1)+q(v_2))}{2}=\frac{1+18+48+12a-(30+9a+11)}{2}=26+\frac32a\)
per cui la matrice associata è \(\begin{bmatrix} 30+9a & 26+\frac32a \\
26 + \frac32a & 11\end{bmatrix}\) che è definita positiva se e solo se (essendo una 2 per 2) traccia e determinante sono positivi e prova a fare gli ultimi conti.

Grazie dell'aiuto! La formula usata nel finale è quella di polarizzazione, giusto? In realtà cercavo un metodo base base (che non utilizzasse le forme bilineari, dato che non le abbiamo affrontate con il Professore), ma a questo punto mi pare di capire che non ci siano via alternative

[Massimo Gobbino]

@savfici, occhio che la soluzione di gino è la stessa tua, modulo qualche probabile piccolo errore di calcolo! Non c'è sotto nessuna formula o concetto misterioso.

Dopo aver costruito l'espressione in t ed s, basta vedere quando quella è definita positiva, il che si riduce allo studio di una matrice simmetrica 2*2, che è la stessa di gino.

Infatti quello che fa gino è restringere la forma quadratica al sottospazio 2-dim generato dai due vettori, solo che lo fa in maniera più elegante calcolando solo i prodotti scalari tra gli elementi della base. Il conto però fondamentalmente è lo stesso.

[savfici]

Sostanzialmente la mia espressione finale (nella foto), sulla quale mi ero bloccato, rappresenta un'altra sorta di forma quadratica in t ed s (invece che in x , y e z ), di cui devo normalmente discutere la segnatura in funzione di a, ad esempio con la matrice associata, ottenendo i conti simili a quelli di Gino..
Corretto o sbaglio ancora?

[Massimo Gobbino]

Corretto o sbaglio ancora?

Corretto .

[savfici]

Grazie