Simulazione scritto d'esame

[gino]

Più nessuno che sta facendo esercizi? Tocca a me provare a rispondere?

Intanto in quell'esercizio è importante capire la morale che ci sta sotto.

[+] Brutal_mode

In dimensione 2 lo spazio \(W^{1,4}\) si immerge nelle funzioni continue con immersione compatta, quindi funziona tutto il macchinario del metodo diretto, quindi l'inf è un min ed è reale.

In dimensione alta \(W^{1,6}\) non si immerge in \(L^\infty\) e quindi sarà ben difficile controllare quel seno iperbolico che cresce tanto.

Per il punto (a) si può direttamente dire che controllando la norma in \(W^{1,4}\) (grazie alla Poincarè) controllo la norma \(L^\infty\) (su tutte contemporaneamente) e quindi concludere?

[Massimo Gobbino]

controllando la norma in \(W^{1,4}\) (grazie alla Poincarè) controllo la norma \(L^\infty\)

Uhm, Poincaré? Semmai teoremi di immersione.

la norma \(L^\infty\) (su tutte contemporaneamente)

Tutte chi?

Comunque la sostanza è corretta: si conclude anche direttamente sfruttando il teorema di immersione continua di \(W^{1,4}\) in \(L^\infty\).

[Albus23]

Provo a esplicitare la prima parte.
Mi metto \(W^{1,4}_0\), così che se trovo qui il min so che è un inf per le \(C^{\infty}_c\) (giusto?).
Prendo una sottosuccessione in un sottolivello.
Innanzitutto stimo la norma del gradiente grazie al vincolo: i gradienti della mia successione sono equilimitati.
Poi posso dire, con i teoremi di immersione, di essere in \(L^{\infty}\) e
sono anche equi-Holder perché per questa stima mi basta la stima sui gradienti.
Se volessi usare Ascoli Arzelà mi servirebbe una equilimitatezza, ma anche se volessi usare Rellich dovrei avere una equilimitatezza per le norme \(L^4\) delle funzioni.
Di primo acchito mi sembra che questa limitatezza si possa ottenere in due modi:
1) dal funzionale (Strada che visto il seno iperbolico non saprei bene percorrere)
2) da una disuguaglianza tipo Poincarè

Scelgo la seconda strada e in particolare farei così:

\(\left\lVert u\right\rVert _{\infty} \leq c(p,d,\Omega)\bigg( \left\lVert u\right\rVert _4 + \left\lVert \nabla u\right\rVert _4 \bigg) \leq c'(p,d,\Omega) \left\lVert u\right\rVert _{\infty} +c(p,d,\Omega)\left\lVert \nabla u\right\rVert _4\).

Portando a sinistra, raccogliendo, dividendo. Se volessi usare Rellich potrei fare un discorso simile con \(\left\lVert u\right\rVert _4\).
In questo caso è proprio una Poincarè.

Se non uso questa, come stimo la norma \(L^{\infty}\) o \(L^4\) delle funzioni? Se non stimo uniformemente tale norma come procedo col metodo diretto?

[Massimo Gobbino]

Uhm, non capisco molte parti del post precedente. Mi sembra tutto molto più semplice.

[+] Via_Veloce

Se quella roba è minore di 3, allora è minore di 3 anche l'integrale della somma delle potenze quarte delle derivate parziali (perché?), ma allora grazie al dato al bordo nullo ed alle immersioni (quali?) posso controllare la norma infinito della funzione (perché?), ed è fatta (davvero?).

Gli stessi ingredienti si possono ricucinare nel seguente modo.

[+] Via_Metodo_Diretto

Voglio dimostrare che esiste il minimo dell'integrale del seno iperbolico tra tutte le funzioni in \(W^{1,4}_0\) (notare lo zero, altrimenti è banalmente falso) che soddisfano il vincolo. Prendo una successione infizzante, dal vincolo ottengo una stima sul gradiente (in che spazi?), poi grazie al dato nullo al bordo ed alle immersioni ottengo una equilimitatezza delle funzioni (come?), a quel punto ho addirittura equi-holderianità (e perché mai?), e concludo con Ascoli-Arzelà (davvero?).

[gino]

Mi è parso interessante il punto 4b della Christmas edition (e non sono sicuro di avere una soluzione corretta, sicuramente non è completa)

se \(f \in W^{25,12}(\mathbb{R}^{2018})\) allora \(Tr(f) \in W^{24,q}(\mathbb{R}^{2017})\) dove \(q\in [ 12 ;\frac{12(2018-1)}{2018-12} ]\) (usando lo stesso argomento usato in classe per le \(C^\infty_c\) controllo le norme delle derivate con le derivate immediatamente successive e per approssimazione sulle sobolev, questo è il punto che mi è parso interessante, ma di cui vorrei un riscontro) a quel punto uso le immersioni di sobolev per \(W^{24,\frac{12(2018-1)}{2018-12}}\) in \(L^{q^*}\) (dove \(q^*=\frac{2017q}{2017-24q}\) e \(q=\frac{12(2018-1)}{2018-12}\)) per cui per interpolazione concludo che \(Tr(f) \in L^p\) per \(p \in [12; q^* ]\).
Ora avrei dei problemi a mostrare che la stima è ottimale dall'alto (intuitivamente direi che basta usare i soliti ingredienti, ma mettendo tutte le cose insieme i calcoli mi sembrano troppo brutti)

[gino]

controllando la norma in \(W^{1,4}\) (grazie alla Poincarè) controllo la norma \(L^\infty\)

Uhm, Poincaré? Semmai teoremi di immersione.

Si qui mi ero espresso male intendevo dire grazie alla Poincarè controllo la norma \(W^{1,4}\), quindi grazie alle immersioni di sobolev la norma \(L^\infty\) di tutte contemporaneamente, quindi ho equilimitatezza e concludo. Avevo circa in mente

[+] Via_Veloce

Se quella roba è minore di 3, allora è minore di 3 anche l'integrale della somma delle potenze quarte delle derivate parziali (perché?), ma allora grazie al dato al bordo nullo ed alle immersioni (quali?) posso controllare la norma infinito della funzione (perché?), ed è fatta (davvero?).

[aleM]

Non ho ben capito questo ragionamento sul 4b della christmas edition,

se \(f \in W^{25,12}(\mathbb{R}^{2018})\) allora \(Tr(f) \in W^{24,q}(\mathbb{R}^{2017})\) dove \(q\in [ 12 ;\frac{12(2018-1)}{2018-12} ]\) (usando lo stesso argomento usato in classe per le \(C^\infty_c\) controllo le norme delle derivate con le derivate immediatamente successive e per approssimazione sulle sobolev, questo è il punto che mi è parso interessante, ma di cui vorrei un riscontro)

nel senso che mi torna nel caso p=1 che si stimino le derivate parziali della traccia con le derivate seconde della funzione, come nella dimostrazione a lezione partendo da \(u_x(x,0) = - \int_{0}^{+\infty}u_{xy}(x,y)dy\) e giungendo a \(||u_x(x,0)||_{L^1(\mathbb{R}^{d-1})} \leq ||u_{xy}||_{L^1(\mathbb{R}^d_+)}\). Però dalla stima con p=1 non vedo come passare a quella con p generico, forse ci vuole una \(v\) ausiliaria più furba.

Per questo esercizio in particolare ragionerei così: la \(g\) non è che la traccia di \(f\) sull'iperpiano \(x_{2018} = \sum_1^{2017} x_i\), quindi posso stimare \(||g||_{L^{12}(\mathbb{R}^{2017})} \leq c ||f||_{1,12,\mathbb{R}^{2018}}\). Si può poi applicare il risultato di improvement, ponendo quell'\(r\) della dimostrazione non uguale a \(p/p'\) ma a \(p^*/p'\), dove il \(p^*\) però è quello dell'immersione con \(m\) generico e \(mp<d\), ottenendo che \(g\) sta in \(L^{\frac{p(d-m)}{d-mp}}\) (quell'esponente è circa 13,9), e per interpolazione in tutti gli \(L^p\) intermedi.

Per quanto riguarda l'ottimalità di questo risultato, non sono ancora sicuro...

[gino]

Non ho ben capito questo ragionamento sul 4b della christmas edition,

In realtà volevo semplicemente dire che puoi considerare l'operatore di restrizione \(C^{\infty}_c(\mathbb{R}^{2018}) \to C^{\infty}_c(\mathbb{R}^{2017})\) e questo ne induce uno lineare e continuo da \(W^{25,12}(\mathbb{R}^{2018})\to W^{24,q}\) con \(q=\frac{12(2018-1)}{2018-12}\). Il punto è che per u C-infinito abbiamo \(\Vert {\frac{\partial D^\alpha Tr(u)}{\partial x_i}}\Vert_{L^q}=\Vert {\frac{\partial Tr(D^\alpha u)}{\partial x_i}}\Vert_{L^q}\le c(\alpha,i) \Vert{D^\alpha u}\Vert_{W^{1,12}} \le \Vert{u}\Vert_{W^{25,12}}\), (come abbiamo fatto in classe, alla fine sto solo stimando la norma della traccia di una funzione con quelle della funzione e delle sue derivate). quindi sommando su tutte le derivate fino alla 24 ottengo per \(u \in C^\infty_c\) che
\(\Vert{Tr(u)}\Vert_{W^{24,q}} \le c \Vert{u}\Vert_{W^{25,12}}\), quindi per densità riesco a estendere l'operatore a \(W^{25,12}(\mathbb{R}^{2018}) \to W^{24,q}(\mathbb{R}^{2017})\) (quel controllo sulle norme mi garantisce proprio che mando successioni di cauchy in successioni di cauchy)


Se non ci sono errori dal mio ragionamento successivo l'esponente viene circa 14,08