Limite uniforme (sui limitati) di operatori compatti è compatto

[tommy1996q]

Avrei dei dubbi riguardo la dimostrazione per cui se ho una successione di operatori compatti $\{f_n\}$ da uno spazio normato $X$ a uno spazio metrico $Y$ completo che tendono, uniformemente sui limitati, a una certa $f$, allora quest'ultima è un operatore compatto.
Nella dimostrazione si fa uso della caratterizzazione dei relativamente compatti, per cui servirebbe che per ogni $r>0$ esista un compatto $K_r$ che disti meno di $r$ da $f(A)$, dove con $A$ si indica un insieme limitato di $X$. Tuttavia, nella dimostrazione, si fa uso della totale limitatezza di $f_n (A)$, ma non si menzionano compatti. Credo che si possa facilmente risolvere questo punto andando semplicemente a considerare un compatto che sta vicino a $f_n(A)$ e poi sfruttare la convergenza uniforme.
Quello che non capisco è come mai, dato che $Y$ è completo, si possa affermare che basti lavorare con insieme totalmente limitati. Il teorema in cui entrano in gioco completezza dello spazio (di tutto, però) e totale limitatezza è quello della caratterizzazione dei compatti in spazi metrici, ma non mi sembra che serva in questo caso, dato che stiamo lavorando con relativamente compatti.

[C_Paradise]

Non so se è ho capito bene il tuo dubbio, comunque la chiusura di $f_n(A)$ è compatta e quindi totalmente limitata, d’altra parte un insieme è totalmente limitato se e solo se lo è la sua chiusura e quindi anche $f_n(A)$ è totalmente limitata..

[Massimo Gobbino]

Anch'io non ho capito bene dove sta il problema. Infatti

Nella dimostrazione si fa uso della caratterizzazione dei relativamente compatti, per cui servirebbe che per ogni $r>0$ esista un compatto $K_r$ [...]

ma nella caratterizzazione basta in realtà totalmente limitato.

[tommy1996q]

Ecco, non avevo segnato che bastasse la totale limitatezza. Quindi vale che in uno spazio metrico completo, le nozioni di relativa compattezza e totale limitatezza si equivalgono?
(Sicuramente se non ho la completezza questo non è vero, basti pensare a $\mathbb{Q} \cap (0,1)$)

[Albus23]

Quindi vale che in uno spazio metrico completo, le nozioni di relativa compattezza e totale limitatezza si equivalgono?

Riepilogo per futuri lettori: Nel teorema di relativa compattezza in spazi Lp non si è mostrato che la famiglia approssimante è compatta bensì solo relativamente compatta. In effetti nel teorema precedente si era detto che bastava la totale limitatezza.
Ma nel caso di un metrico COMPLETO è equivalente alla relativa compattezza.
La dimostrazione è facile usando i risultati per spazi metrici e il fatto che chiuso in completo è completo, l'unica cosa da osservare è quello che ha detto C_paradise, cioè che un insieme è totalmente limitato sse lo è la sua chiusura.

[Massimo Gobbino]

in uno spazio metrico completo, le nozioni di relativa compattezza e totale limitatezza si equivalgono?
(Sicuramente se non ho la completezza questo non è vero, basti pensare a $\mathbb{Q} \cap (0,1)$)

O pensare a (0,1) e basta .

[tommy1996q]

O pensare a (0,1) e basta .

In effetti

[aleM]

In questo teorema l'ipotesi di convergenza uniforme sui limitati è veramente necessaria, ad esempio in un Hilbert le proiezioni $p_n$ sui sottospazi $span(e_1,...,e_n)$ sono compatte, tendono all'identità solo puntualmente, ed infatti l'identità non è compatta, corretto?

[Massimo Gobbino]

Icorretto?

Corretto.

Bonus question: quelle proiezioni convergono uniformemente sui compatti?

[aleM]

Direi di sì, con dimostrazione simile a quella del teorema di approssimazione di operatori compatti in Hilbert (separabili), sempre della lezione 49: in quel caso avevamo $f$ operatore compatto e dimostravamo che le $p_n f$ lo approssimano uniformemente sui limitati. Il punto chiave era che dato un limitato, $f$ lo trasforma in un relativamente compatto, quindi tot. lim.

Nel caso delle sole $p_n$, $f$ è l'identità e non è compatta, ma se prendiamo direttamente un compatto in partenza, l'immagine tramite $f$ è già compatta di suo, quindi di nuovo tot. lim. e si può partire con la stessa dimostrazione, stavolta ottenendo che $p_n \rightarrow id$ uniformemente sui compatti.

[fra_ppa]

Vorrei riaprire la discussione su questo argomento per aggiungere un dettaglio all'enunciato del Corollario 1 di Lezione 49/19-20 (e vedere se ho capito il punto). Il Corollario afferma che

Un operatore fra spazi normati (e si sottolinea entrambi normati) è compatto se e solo se è limite uniforme sui limitati di una successione di operatori compatti con immagine finito-dimensionale.

L'implicazione solo se segue dal Lemma di proiezione non lineare e non richiede altre ipotesi. Invece, nell'implicazione se serve anche l'ipotesi di completezza di Y, almeno per come l'abbiamo dimostrata a lezione.

Qualcuno sa costruire un controesempio? Oppure, l'ipotesi di immagine finito-dimensionale mi permette di fare a meno della completezza?

[fra_ppa]

Secondo me la completezza serve. Se Y non è completo, allora esiste una successione di Cauchy che non ammette sottosuccessioni convergenti a elementi di Y (Y è metrico, quindi Cauchy+sottos. convergente mi garantirebbe l'esistenza di un limite). Tale successione è un sottoinsieme totalmente limitato, ma non relativamente compatto. La chiamo $\{y_m\}$. Sia $\{x_m\}\subset X$ una successione limitata.

Definisco $f_n:X\to Y$ come

$f_n(x)=\begin{cases} y_m & \text{se } x = x_m \text{ e } m\leq n, \\ 0 & \text{altrimenti.} \end{cases}$
Tali operatori hanno immagine finita, dunque relativamente compatta.

Definisco $f_{\infty}:X\to Y$ come

$f_{\infty}(x)=\begin{cases} y_m & \text{se } x = x_m, \\ 0 & \text{altrimenti.} \end{cases}$
Quest'operatore non è compatto per come ho scelto le due successioni di punti, inoltre la convergenza della successione di funzioni è uniforme poiché $\{y_m\}$ è di Cauchy.

Funziona?

[Massimo Gobbino]

Funziona?

La questione è molto interessante. Nessuno che sta studiando?

[Massimo Gobbino]

Vedo che nessuno dice nulla ... brutto segno . A me non è chiara la convergenza uniforme della successione di funzioni.

[fra_ppa]

Non c'è infatti nemmeno sui limitati. Ad esempio su $B=\{x_m\}$ la successione

$\sup_B ||f_{\infty}(x)-f_n(x)||_W = \sup_{m>n} ||y_m||_W$

non può tendere a $0$ per $n\to \infty$, perché questo implicherebbe $y_n\to 0$.