Raccolta di esercizi - Minimizing the distance from a point - Ex.4

[s.rotundo1]

Riporto il testo dell'esercizio.
Siano $H$ Hilbert separabile, $K\subseteq H$ chiuso, $x_0\in H \setminus K$. Determinare se è vero che esiste $z\in K$ t.c. $||x-z||\le||x-y||$ per ogni $y\in K$.

Vorrei sapere se la mia soluzione è corretta.

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Forniamo un controesempio.
Sia $K=\{e_n\}_n$ l'insieme degli elementi di una base hilbertiana. Ogni successione $(x_n)_n$ in $K$ per cui esiste $I\subseteq \mathbb{N}$ tale che $\{e_i\}_{i\in I}$ sono elementi della successione frequentemente, o non ha limite o ha per limite uno degli $e_i$ per $i\in I$. Altrimenti si ha che la successione è tale che se $n\neq m$, allora $x_n\neq x_m$ definitivamente, per cui definitivamente diventa una sottosuccessione di un riordinamento della base hilbertiana originale, che è ancora una base hilbertiana, le cui sottosuccessioni non sono di Cauchy e dunque non hanno limite. Per cui i possibili limiti di successioni in $K$ sono gli stessi elementi di $K$. Questo ci dice che $K$ è chiuso.
Sia ora $x_0\in H \setminus K$, e sia $(y_n)_n\subseteq K$ una successione minimizzante. Questa non ammette sottosuccessioni convergenti, dunque non può essere convergente in $K$, per cui non esiste alcun punto di minimo.

[C_Paradise]

Ciao! Non mi tornano le ultime due righe, ad esempio se prendo $x_0=0$ ho che tutti i punti di $K$ sono di minimo. L’esempio si dovrebbe sistemare prendendo $K=\{(1+1/n)e_n\}_n$ e considerando sempre $x_0=0$, ti convince? In ogni caso non sto dicendo che il tuo esempio non va bene, ma che quanto scritto nelle ultime due righe non sembra funzionare per 0..

[s.rotundo1]

Giusto! Avevo appena detto che $(y_n)_n$ può essere convergente solo ad elementi di $K$. In effetti l'origine rovina tutto.
Ti ringrazio per il suggerimento.
Prendiamo $K=\{(1+\frac{1}{n})e_n\}_n$.
Sia $(x_n)_n\subseteq K$ successione. Allora per ogni $n\in \mathbb{N}$ si ha che esiste $y_n\in \{e_n\}_n$ tale che $x_n=(1+frac{1}{k(n)})y_n$ con $k(n)$ tale che se $y_n=e_k$ allora $k(n)=k$.
$(y_n)_n$ è dunque una successione in $\{e_n\}_n$.
Se esistono $I\subseteq \mathbb{N}$ e $\{e_i\}_{i\in I}$ tali che $y_n\in\{e_i\}_{i_in I}$ frequentemente allora $(y_n)_n$ non ha limite e dunque non lo ha neanche $(x_n)_n$, oppure ha limite uguale a un certo $e_i$ per $i\in I$ (e pertanto si avrà anche $k(n)\rightarrow i$). In quest'ultimo caso $||x_n-(1+\frac{1}{i})e_i||=||(1+\frac{1}{k(n)})y_n-(1+\frac{1}{i})e_i||\rightarrow 0$.
Se invece definitivamente si ha che se $n\neq m$, allora $y_n\neq y_m$, si può dedurre che $||x_n-x_m||^2=||(1+\frac{1}{k(n)})y_n-(1+\frac{1}{k(m)})y_m||^2=||y_n-y_m+\frac{1}{k(n)}y_n-\frac{1}{k(m)} y_m||^2=$
$=||y_n-y_m||^2+||\frac{1}{k(n)}y_n-\frac{1}{k(m)}y_m||^2+<y_n-y_m,\frac{1}{k(n)}y_n-\frac{1}{k(m)}y_m>\ge||y_n-y_m||^2+\frac{1}{k(n)}+\frac{1}{k(m)}\ge 2$.
Per cui $(x_n)_n$ non può essere di Cauchy e dunque non può convergere.
Tutto ciò ci dice che $K$ è chiuso.
Sia dunque $x_0=0$ e sia $(x_n)_n\subseteq K$ una successione minimizzante. Qualora convergesse, convergerebbe a un certo $(1+\frac{1}{k})e_k$ con $e_k$ della base hilbertiana.
Ma $||x_0-(1+\frac{1}{k})e_k||=||(1+\frac{1}{k})||e_k||=1+\frac{1}{k}>1+\frac{1}{k+1}=(1+\frac{1}{k+1})||e_{k+1}||=||x_0-(1+\frac{1}{k+1})e_{k+1}||$, per cui abbiamo un assurdo.