Dubbio Sulle Forme Quadratiche

[matt_frascarelli]

Ciao a tutti!

Ho un dubbio su un concetto nelle forme quadratiche.
Sapendo che q(v1) > 0 si può affermare che, applicando la forma a un qualunque vettore dello span(v1), il risultato sarà maggiore di zero perché q(av) = a^2q(v).

Lo stesso vale anche quando ho due vettori?
Ovvero, se q(v1) >0 e q(v2) > 0, posso fare lo stesso ragionamento sullo span(v1,v2)? E con più vettori?

Mi scuso nel caso in cui abbia sbagliato sezione, e vi ringrazio per le risposte

[Massimo Gobbino]

Beh, prova con

\(q(x,y)=x^2+y^2-100\,xy\)

Si ha \(q(1,0)=q(0,1)=1>0\), e tuttavia ...

[matt_frascarelli]

Grazie mille per la risposta!
Comunque credo di aver capito...
Dovrebbe dipendere tutto dalla segnatura, cioè se n+ = 2 esistono infiniti sottospazi di dim <= 2 in cui la forma è definita positiva.
Quindi in questo caso posso trovare due vettori positivi (lin. Ind.) e affermare che il loro span è un sottospazio di dim = 2 in cui la forma è positiva.
Nel caso da lei proposto la forma è indefinita ed è impossibile trovare un sottospazio di dim 2 in cui è definita positiva, perché siamo in R2.

Magari studiando la segnatura e prendendo vettori a “occhio” è possibile, nei casi più semplici, evitare di completare i quadrati per ottenere sottospazi in cui è definita positiva, negativa. Giusto?

[Massimo Gobbino]

Magari studiando la segnatura e prendendo vettori a “occhio” è possibile, nei casi più semplici, evitare di completare i quadrati per ottenere sottospazi in cui è definita positiva, negativa. Giusto?

Sbagliato . L'unico caso in cui andando a caso si può rispondere è in dimensione 2 quando la forma è indefinita (basta essere fortunati e trovare a caso un vettore su cui è positiva e uno su cui è negativa).

Se siamo in dimensione 37 e troviamo 10 vettori su cui è positiva e 27 su cui è negativa (anche tutti linearmente indipendenti tra di loro), possiamo dedurre solo che l'indice di positività e di negatività sono almeno uno, ma nulla di più.

[matt_frascarelli]

Grazie, allora niente furbate...
Vada per il completamento dei quadrati!