Simulazione scritto d'esame

[T.Sc]

Salve, provo allora a ripostare la soluzione del punto b) del terzo esercizio dello scritto di Natale.

Si ha che \(\displaystyle F(u) \geq\int_{(-1,1)^2} dx dy \int_{(-1,1)} |u_z|^{2018}-|u|^{2000}dz\).

In particolare, se mostriamo che il funzionale \(\displaystyle g(u)=\int_{(-1,1)}u'^{2018}-u^{2000}\) ha minimo in \(W^{1,2018}_0(-1,1)\), dovremmo aver finito. Questa ultima parte dovrebbe essere una applicazione standard di compattezza dei sottolivelli+SCI come visto nel caso 1 dimensionale a lezione.

Per il punto c) invece, si dovrebbe avere inf meno infinito. In particolare, trovando funzione tale che \(F(u) <0\) e considerando \(nu\) si dovrebbe avere successione con inf meno infinito.

Una funzione di questo tipo non dovrebbe essere impossibile da trovare, ammettendo di considerare l'inf in \(W^{1,2018}_0(\Omega)\)(che e' lo stesso per densita'). Se non ho fatto male i conti, una del tipo \(u(x,y,z)=cf(x)f(y)f(z)\) con \(f(x)=1-|x|\) dovrebbe tornare aggiustando \(c\).


Non riesco a risolvere invece il primo punto del quarto esercizio della simulazione dell'anno nuovo. In particolare, ho provato sia ad utilizzare disuguaglianze per immersioni di Sobolev per dimostrare che l'inf esiste che al contrario a creare una successione con inf meno infinito, ma non riesco in nessuna delle due cose. E' probabile che mi stia sfuggendo qualcosa di basilare, ma non so bene cosa fare.

[tommy1996q]

Allora, per interpolazione la derivata 5 volte starà in \([p,p^*]\), con \(p^*\) quello ottenuto dall'immersione di \(W^{20,12}\). Per mostrare che questo intervallo è il massimo possibile, bisogna esibire delle funzioni che appartengono a \(W^{25,12}(\mathbb{R}^{2018})\) ma non appartengano a \(L^q\) se \(q>p^*\) o \(q < p\). Nel primo caso ho considerato delle funzioni radiali del tipo \(\frac{1}{||x||^\alpha}\) che si annullano fuori da una palla di raggio unitario (idealmente, per esponenti alti i problemi nascono in 0. Inoltre puoi formalizzare il tutto in modo da avere una funzione di Sobolev moltiplicando per una cutoff radiale che si annulli prima di 1) e tutto sembra tornare. Nel secondo, ho provato a fare la stessa cosa , ma stavolta sul complementare della palla unitaria. Svolgendo i calcoli, però, qualcosa non quadra, perché ottengo che i \(q\) per cui posso trovare un controesempio non arrivano fino a \(p\), ma si fermano un po' prima. Se vuoi posso postare la verifica precisa.

[tommy1996q]

Ops, sbagliato compito

[tommy1996q]

Comunque, prova a fare così, dovrebbe tornare:

[+] Ex_4_a_NYE

\(\phi_{n}(x)=n \phi(n^{\alpha}x)\). Riscrivi tutto cambiando variabili, ponendo \(y=n^{\alpha}x\). A quel punto, il dominio in pratica rimane lo stesso (perché tanto \(u\) ha supporto compatto) e dal cambio di variabili ti nasce un termine \(\frac{1}{n^{2 \alpha}}\), se non mi sbaglio. A quel punto ti scegli \(m, \alpha\) opportuni.

[Massimo Gobbino]

Nel secondo, ho provato a fare la stessa cosa , ma stavolta sul complementare della palla unitaria. Svolgendo i calcoli, però, qualcosa non quadra, perché ottengo che i \(q\) per cui posso trovare un controesempio non arrivano fino a \(p\), ma si fermano un po' prima. Se vuoi posso postare la verifica precisa.

Uhm, questo discorso mi suona strano. Se uno prende una funzione del tipo

\(\dfrac{1}{1+\|x\|^\alpha}\)

in maniera da avere il problema solo all'infinito, mi pare che più uno deriva e più le cose migliorano, visto che si rinforza l'esponente al denominatore, e all'infinito bigger is better. Basta quindi fare in modo che questa stia a stento in \(L^p\) ed il gioco è fatto, nel senso che si mostra che le immersioni di Sobolev migliorano la sommabilità in avanti, ma non indietro. O mi sono perso qualcosa?

[Massimo Gobbino]

provo allora a ripostare la soluzione del punto b) del terzo esercizio dello scritto di Natale.

Torno un attimo su questo esercizio per evidenziare un punto che è andato perso nel crash del sistema. Quello che ci sta sotto è una disuguaglianza di Poincaré del tipo

\(\displaystyle\int_\Omega|u|^{2018}\,dx\,dy\,dz\leq\int_\Omega|u_z|^{2018}\,dx\,dy\,dz.\)

Cosa rende possibile tutto questo?

Da lì in poi sono le solite storie.

[tommy1996q]

Uhm, questo discorso mi suona strano. Se uno prende una funzione del tipo

\(\dfrac{1}{1+\|x\|^\alpha}\)

in maniera da avere il problema solo all'infinito, mi pare che più uno deriva e più le cose migliorano, visto che si rinforza l'esponente al denominatore, e all'infinito bigger is better. Basta quindi fare in modo che questa stia a stento in \(L^p\) ed il gioco è fatto, nel senso che si mostra che le immersioni di Sobolev migliorano la sommabilità in avanti, ma non indietro. O mi sono perso qualcosa?

Certo, ha perfettamente ragione. Sono io che imponevo roba sulle derivate, quando in realtà non serviva affatto, almeno per dimostrare l’appartenenza a \(L^{12}\).Però, quando impongo la condizione sulla derivata quinta, mi verrebbe un \(q\) strettamente minore di \(p\), in questa maniera. L’unica soluzione sarebbe partire da una funzione \(W^{20,12}\) per poi risalire a una \(W^{25,12}\) che abbia lei come derivata quinta. Il sistema sarebbe:

\(\begin{cases} 12 \alpha - 2017 >1 \\
q (\alpha +5) - 2017 < 1 \end{cases}\)

da cui \(q < \frac{2018}{2078} 12\).

[T.Sc]

Per la disuguaglianza alla Poincare',in questo caso particolare dipendeva dal fatto che il dominio era del tipo \(A \times (a,b)\).

Non mi vengono in mente generalizzazioni vere.Una riformulazione possibile di quello che vogliamo e' che il dominio \(\Omega\) dovrebbe essere tale che per ogni \((x,y )\) nella proiezione sulle prime due coordinate , si abbia una costante di Poincare' \(c(x,y)\) che dipenda in modo sensato da \(x,y\) (ad esempio stia in \(L^1\)), ma non saprei come esprimere in forma generale una tale proprieta'.

[T.Sc]

Comunque, prova a fare così, dovrebbe tornare:

[+] Ex_4_a_NYE

\(\phi_{n}(x)=n \phi(n^{\alpha}x)\). Riscrivi tutto cambiando variabili, ponendo \(y=n^{\alpha}x\). A quel punto, il dominio in pratica rimane lo stesso (perché tanto \(u\) ha supporto compatto) e dal cambio di variabili ti nasce un termine \(\frac{1}{n^{2 \alpha}}\), se non mi sbaglio. A quel punto ti scegli \(m, \alpha\) opportuni.

Grazie mille comunque. Non avevo pensato a quel riscalamento.

[Massimo Gobbino]

Però, quando impongo la condizione sulla derivata quinta, mi verrebbe un \(q\) strettamente minore di \(p\), in questa maniera.

Insomma, vuoi qualcosa che impedisca alla derivata di decadere di più della funzione? Direi che potrebbe servire un numeratore, magari oscillante.

[Massimo Gobbino]

si abbia una costante di Poincare' \(c(x,y)\) che dipenda in modo sensato da \(x,y\)

Beh, in dimensione 1 la costante di Poincaré dipende solo dalla lunghezza dell'intervallo.

[T.Sc]

Una possibilita' allora e' che detto \(l(x,y)\) la lunghezza dell'intervallo massimo \((a,b)\) tale che \((x,y,z) \in \Omega\) per ogni \(z \in (a,b)\) e \(P(l(x,y))\) la costante associata, si abbia \(P(l(x,y))\) integrabile.

Un tipo di insiemi per cui succede dovrebbero essere quelli che per cui gli intervalli \((a,b)\) hanno lunghezza boundata da sotto. Sarei portato a dire che pero' anche per insiemi tipo la sfera ci possa essere una disuguaglianza di quel tipo, ma non saprei come verificarlo.

[FraMatte]

Salve professore, abbiamo cercato di risolvere l’esercizio uno del compito NYE. Per quanto riguarda il punto b) abbiamo cercato di risolverlo utilizzando un riscalamento opportuno della funzione

\(f(x) = - e^{\frac{1}{\left \lvert \left \lvert x^2 \right \rvert \right \rvert - 1}}\)

Posta nulla fuori dalla palla unitaria. D’altro canto avevamo pensato di cercare una funzione in \(H_0^1\) che abbia inf negativo, dopodichè con un opportuno riscalamento ottenere inf = \(- \infty\) e con un lemma di approssimazione trovare una successione infizzante in \(\mathcal{C}^\infty_c\) che ci dia la tesi. Può essere un approccio valido? Altrimenti quale è un metodo per evitare di scrivere funzioni a supporto compatto? O se esistono, quali possono essere migliori alternative per approcciare il problema?

[Massimo Gobbino]

Più nessuno che sta facendo esercizi? Tocca a me provare a rispondere?

Intanto in quell'esercizio è importante capire la morale che ci sta sotto.

[+] Brutal_mode

In dimensione 2 lo spazio \(W^{1,4}\) si immerge nelle funzioni continue con immersione compatta, quindi funziona tutto il macchinario del metodo diretto, quindi l'inf è un min ed è reale.

In dimensione alta \(W^{1,6}\) non si immerge in \(L^\infty\) e quindi sarà ben difficile controllare quel seno iperbolico che cresce tanto.

Capita l'idea il gioco per il punto (b) è fatto.

[+] Punto_b

Consideriamo la funzione

\(-\dfrac{\varepsilon}{\|x\|^a}\)

Questa manda il seno iperbolico a \(-\infty\) per ogni \(a\) positivo, e per \(a\) ed \(\varepsilon\) piccoli rende vera la condizione sulle derivate parziali. Ora questa non sta in \(C^\infty_c\), ma la cosa si aggiusta facilmente troncando e moltiplicando per roba opportuna.

Torna? Servono più dettagli?

[FraMatte]

Sì, torna. Grazie mille!