Funzionali quadratici con v non nulle al bordo

[teremin]

Carissimi,

Sto cercando di risolvere il problema 3 del dello scritto del 25 dicembre 2015, punto (c).

A meno di un cambio di variabile \(v(x)=u(x)-\frac{7}{2}x\), viene chiesto di studiare per quali l ha minimo il problema
$$ \min \left\{ G(v) = \int_0^l \dot{v}^2- v^2 : v(0) = 0,\ v(l) = 2016-\frac{7}{2}l \right\}$$

Io ho proceduto così:
0. Notare che la ELE è la classica \(\ddot{v}=-v\), che ha come soluzioni (usando solo \(v(0)=0\)) le \(u(x) = A \sin(x)\)
1. La variazione seconda del funzionale è \(G\) stesso in qualsiasi candidato punto minimo. Quindi, se \(l > \pi\), non ci sono WLM e quindi neppure minimi globali.
2. Per \(l=\pi\) la ELE non ha soluzioni: infatti imponendo la condizione in \(\pi\) otteniamo \(0=v(\pi) = 2016- \frac{7\pi}{2}\), assurdo. Non essendoci DLM, non ci sono neanche minimi globali.
3. Per il caso \(l < \pi\), notiamo che l'eccesso di weierstrass è un quadrato perfetto \((q-p)^2 \ge 0\), perciò usando la WRF otteniamo
$$F(u) - F(u_0) = \int_0^l E(x,u(x), p(x,u(x)), \dot{u}(x)) \ge 0$$
Perciò è effettivamente un minimo globale.

Visto che di solito faccio errori sparsi (e che all'inizio del post la 3 non riuscivo a farla da un'ora), potreste dirmi se è corretto e se in sede di scritto servirebbero argomentazioni ulteriori? Grazie!

[FApples97]

A me sembra corretto. Ma quindi ogni volta che \(u_0\) soddisfa (E), (J+) , (L+) e l'eccesso è sempre \(\ge0\), allora possiamo dire che \(u_0\) è punto di minimo globale?

[Massimo Gobbino]

Qualche osservazione da parte mia.

• In realtà le domande in quel compito erano leggermente diverse.
• In questo caso il cambio di variabile, che comunque è una buona idea, non semplifica molto la vita. La variazione seconda infatti sarebbe comunque la stessa.
• Le argomentazioni di teremin mostrano correttamente la non esistenza di GM, e nemmeno di DLM, per \(\ell\geq\pi\).
• Nel caso \(\ell\geq\pi\), in assenza di minimi globali, diventa interessante capire chi è l'inf.
• La WRF dice che una certa \(u_0\) è minimo tra tutti i competitori che vivono in una certa zona, cioè quella ricoperta dal campo e in cui l'eccesso è positivo. Quindi se l'eccesso è positivo ovunque, ed il campo copre tutto (cosa che taremin non ha verificato), allora certamente abbiamo un GM. Questa è la tecnica che si usa, per esempio, con il problema di Didone cartesiano, e che si poiteva usare pure qui.
• In alternativa all'eccesso+campo globale, si poteva usare anche il metodo diretto, dopo aver osservato (sempre per la teoria dei funzionali quadratici) che per ogni \(\ell<\pi\) esiste \(\varepsilon\) tale che
  
  \(\displaystyle\int_0^\ell(\dot{v}^2-v^2)\geq\varepsilon\int_0^\ell\dot{v}^2\).
  
  Da qui in poi è la solita storia.

[FApples97]

si poteva usare anche il metodo diretto, dopo aver osservato (sempre per la teoria dei funzionali quadratici) che per ogni \(\ell<\pi\) esiste \(\varepsilon\) tale che

\(\displaystyle\int_0^\ell(\dot{v}^2-v^2)\geq\varepsilon\int_0^\ell\dot{v}^2\).

Questa disuguaglianza non aveva come ipotesi anche che le \(v\) si annullano in \(0\) e in \(l\) ? Nel nostro problema si ha \(v(l)\ne 0\) per \(l<\pi\).

[Massimo Gobbino]

Questa disuguaglianza non aveva come ipotesi anche che le \(v\) si annullano in \(0\) e in \(l\) ?

Giustissimo, sono stato troppo precipitoso .

Prima bisogna fare un cambio di variabili, "togliendo una retta" in modo da avere dato nullo al bordo. A quel punto si applica il metodo al nuovo problema. I termini aggiunti dovrebbero essere non influenti, ma non ho fatto i conti. Magari se qualcuno li fa può mostrare cosa accade.

[shrimpsales]

Grazie mille, Massimo Gobbino.